Редактирование: Обсуждение участника:MetaMockery

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
 
 
==Определения==
 
==Определения==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
+
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
 
}}
 
}}
  
Строка 21: Строка 20:
 
    
 
    
 
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
 
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
 +
 +
Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.
  
 
==== Описание ====
 
==== Описание ====
 
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
 
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
  
<tex> A = \{a \mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.
+
<tex> A = \{a: P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.
  
 
== Отношения между множествами ==
 
== Отношения между множествами ==
Строка 31: Строка 32:
 
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.
 
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.
  
==== Включение ====
 
 
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> :  
 
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> :  
 
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>
 
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>
Строка 37: Строка 37:
 
* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:
 
* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:
 
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>
 
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>
 +
 +
* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
 +
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>
  
 
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
 
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
 
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>
 
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>
  
==== Равенство ====
 
* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
 
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>
 
 
==== Общие элементы ====
 
 
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
 
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
 
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>
 
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>
 
 
== Специальные множества ==
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\varnothing</tex>.
 
}}
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> \ \displaystyle \mathbb {U}</tex>.
 
}}
 
  
 
== Операции над множествами ==
 
== Операции над множествами ==
Строка 97: Строка 82:
 
Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>.
 
Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>.
  
Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
+
Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
 
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.
 
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.
  
Строка 103: Строка 88:
 
Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>
 
Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>
  
Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
+
Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
 
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
 
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
 
}}
 
}}
  
 
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
 
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>
+
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \implies (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>
 
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
 
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: