Обсуждение участника:MetaMockery — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Начальные определения)
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
 
(не показано 14 промежуточных версий 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]
==Начальные определения==
+
 
 +
==Определения==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
+
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
 
}}
 
}}
  
Строка 12: Строка 13:
 
}}
 
}}
  
==Задание множеств==
+
==Способы задания множеств==
 +
 
 +
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
 +
 
 +
==== Перечисление ====
 +
Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.
 +
 
 +
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
 +
 
 +
==== Описание ====
 +
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
 +
 
 +
<tex> A = \{a \mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.
 +
 
 +
== Отношения между множествами ==
 +
 
 +
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.
 +
 
 +
==== Включение ====
 +
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> :
 +
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>
 +
 
 +
* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:
 +
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>
 +
 
 +
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
 +
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>
 +
 
 +
==== Равенство ====
 +
* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
 +
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>
  
1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
+
==== Общие элементы ====
 +
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
 +
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>
  
2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P {{---}} определенное свойство обьекта а
 
  
==Операции==
+
== Специальные множества ==
  
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>));
+
{{Определение
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
+
|definition=
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
+
''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\varnothing</tex>.
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
+
}}
# <tex> \varnothing </tex> {{---}} пустое множество:
+
 
#* <tex> A \cup \varnothing = A </tex>
+
{{Определение
#* <tex> A \cap  \varnothing = \varnothing </tex>
+
|definition=
#* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>
+
''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> \ \displaystyle \mathbb {U}</tex>.
# <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
+
}}
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
+
 
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
+
== Операции над множествами ==
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
+
 
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} &laquo;множество всего&raquo;, &laquo;универсальное множество&raquo;;
+
==== Бинарные операции над множествами ====
# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.
+
 
 +
* Пересечение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex>
 +
 
 +
* Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex>{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>
 +
 
 +
* Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}</tex>
 +
 
 +
* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.  
 +
*: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B  = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }</tex>
 +
 
 +
==== Унарные операции над множествами ====
 +
 
 +
* Дополнение определяется следующим образом:
 +
*: <tex>{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}</tex>.
  
 
== Теорема де Моргана ==
 
== Теорема де Моргана ==
Строка 41: Строка 89:
 
де Моргана
 
де Моргана
 
|statement=  
 
|statement=  
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
+
<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
+
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
 
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
 
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
 
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
# <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>
+
 
#* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
+
Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>.
#* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.
+
 
# <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>
+
Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
#* Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
+
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.
#* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
+
 
 +
 
 +
Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>
 +
 
 +
Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
 +
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
 
}}
 
}}
  
 
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
 
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство
+
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>
:<tex>(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.
 
 
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
 
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.

Текущая версия на 23:03, 16 июня 2021


Определения[править]

Определение:
Множество — первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.


Определение:
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если [math]a[/math] — элемент множества [math]A[/math], то записывают [math]a \in A[/math][math]a[/math] принадлежит [math]A[/math]»). Если [math]a[/math] не является элементом множества [math]A[/math], то записывают [math]a \notin A[/math][math]a[/math] не принадлежит [math]A[/math]»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.


Способы задания множеств[править]

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Перечисление[править]

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.

[math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]

Описание[править]

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

[math] A = \{a \mid P\} [/math] , где [math]P[/math] — определенное свойство элемента [math]a[/math].

Отношения между множествами[править]

Два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] могут вступать друг с другом в различные отношения.

Включение[править]

  • [math]A[/math] включено в [math]B[/math], если каждый элемент множества [math]A[/math] принадлежит также и множеству [math]B[/math] :
    [math]\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B[/math]
  • [math]A[/math] включает [math]B[/math], если [math]B[/math] включено в [math]A[/math]:
    [math]{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}[/math]
  • [math]A[/math] строго включено в [math]B[/math], если [math]A[/math] включено в [math]B[/math], но не равно ему:
    [math]{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}[/math]

Равенство[править]

  • [math]A[/math] равно [math]B[/math], если [math]A[/math] и [math]B[/math] включены друг в друга:
    [math]{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}[/math]

Общие элементы[править]

  • [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются, если у них нет общих элементов:
    [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются [math]{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}[/math]


Специальные множества[править]

Определение:
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как [math]\varnothing[/math].


Определение:
Универсальное множество — множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как [math] \ \displaystyle \mathbb {U}[/math].


Операции над множествами[править]

Бинарные операции над множествами[править]

  • Пересечение [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math]{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}[/math]
  • Объединение [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math]{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}[/math]
  • Разность [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math]{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}[/math]
  • Симметрическая разность [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math] {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }[/math]

Унарные операции над множествами[править]

  • Дополнение определяется следующим образом:
    [math]{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}[/math].

Теорема де Моргана[править]

Теорема (де Моргана):
[math]\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).

Сначала докажем, что [math] \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}[/math].

Пусть [math]x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )[/math]. Значит, [math]\nexists \ \alpha_i[/math] такого, что [math]x \in A_{\alpha_i}[/math]. Следовательно, [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. В силу выбора [math]x[/math] (любой элемент множества [math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]) следует искомое включение.


Теперь докажем, что [math] \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]

Пусть [math]x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. Тогда [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha[/math]. Поскольку [math]x[/math] не входит ни в одно объединяемое множество, то [math]x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}[/math]

Аналогично, в силу выбора [math]x[/math] выполняется искомое включение.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства

[math](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)[/math]

Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.