Обсуждение участника:MetaMockery — различия между версиями
(→Начальные определения) |
(→Операции) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 12: | Строка 12: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | ==Способы задания множеств== |
− | + | Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание. | |
− | + | ==== Перечисление ==== | |
+ | Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. | ||
+ | |||
+ | <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> | ||
− | + | Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств. | |
− | + | ==== Описание ==== | |
− | + | Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. | |
− | + | ||
− | + | <tex> A = \{a: P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>. | |
− | + | ||
− | + | == Отношения между множествами == | |
− | + | ||
− | + | Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения. | |
− | + | ||
− | + | * <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> : | |
− | + | *: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex> | |
− | + | ||
− | + | * <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>: | |
− | + | *: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex> | |
+ | |||
+ | * <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга: | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex> | ||
+ | |||
+ | * <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему: | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex> | ||
+ | |||
+ | * <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов: | ||
+ | *: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex> | ||
+ | |||
+ | == Операции над множествами == | ||
+ | |||
+ | ==== Бинарные операции над множествами ==== | ||
+ | |||
+ | * Пересечение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex> | ||
+ | |||
+ | * Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex> | ||
+ | |||
+ | * Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}</tex> | ||
+ | |||
+ | * Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. | ||
+ | *: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }</tex> | ||
+ | |||
+ | ==== Унарные операции над множествами ==== | ||
+ | |||
+ | * Дополнение определяется следующим образом: | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}</tex>. | ||
== Теорема де Моргана == | == Теорема де Моргана == |
Версия 00:44, 15 июня 2021
Содержание
Определения
Определение: |
Множество — первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством. |
Определение: |
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если | — элемент множества , то записывают (« принадлежит »). Если не является элементом множества , то записывают (« не принадлежит »). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.
Способы задания множеств
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
Перечисление
Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.
Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.
Описание
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
, где — определенное свойство элемента .
Отношения между множествами
Два множества
и могут вступать друг с другом в различные отношения.-
- и не пересекаются
и не пересекаются, если у них нет общих элементов:
Операции над множествами
Бинарные операции над множествами
- Пересечение
- Объединение
- Разность
- Симметрическая разность
Унарные операции над множествами
- Дополнение определяется следующим образом:
- .
Теорема де Моргана
Теорема (де Моргана): |
Доказательство: |
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
|
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
- следует равенство
- .
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.