Обсуждение участника:SergeyBud — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 32 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''HAT(Hashed Array Tree)''' {{---}} структура данных, объединяющая в себе некоторые возможности массивов, хэш-таблиц и деревьев. В действительности HAT {{---}} это эффективный способ реализовать массивы переменной длины, так как он предлагает хорошую производительность порядка <math>O(N)</math>, чтобы добавить <math>N</math> элементов к пустому массиву и требует всего лишь <math>O(\sqrt{N})</math> непроизводительных затрат памяти.  
+
'''Формулировка задачи:''' По заданному слову <tex>X[0..m-1]</tex> найти в тексте или словаре <tex>Y[0..n-1]</tex> все слова, совпадающие с этим словом (или начинающиеся с этого слова) с учетом <tex>k</tex> возможных различий.
  
==Значимость==
+
==Описание задачи с точки зрения динамического программирования==
Массивы переменной длины {{---}} наиболее естественная и удобная структура данных для многих приложений, так как они обеспечивают постоянное время доступа к их элементам. Однако при их реализации мы можем столкнуться с двумя основными проблемами: чрезмерное копирование элементов и использование памяти. HAT {{---}} реализация массива переменной длины, решающая обе проблемы и предоставляющая ряд преимуществ по сравнению со стандартными реализациями.
+
Пусть <tex>d_{i,j}</tex> - расстояние между префиксами строк <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, длины которых равны, соответственно, <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, то есть
 +
<tex>d_{i,j} = d(x(1,i), y(1,j))</tex>.
 +
Чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, [[wikipedia:ru:Матрица_расстояний|матрицу расстояний]] надо преобразовать таким образом, чтобы <tex>d_{i,j}</tex> представлял минимальное расстояние между <tex>x(1, i)</tex> и любой подстрокой <tex>y</tex>, заканчивающейся символом <tex>y_j</tex>. Для этого достаточно ввести условие:
  
==Устройство HAT==
+
<tex>d_{0,j} = 0, 0 < j < n</tex> .
HAT состоит из главного массива указателей и ряда листьев (так же одномерные массивы), в которых хранятся элементы.
 
Число указателей в главном массиве и число элементов в каждом листе равны между собой и являются степенями двойки.
 
[[Файл:AlgoF2.gif|400px|right]]
 
===Добавление элементов===
 
Благодаря использованию степеней двойки, мы можем эффективно находить элементы в HAT, используя поразрядные операции. Чаще всего при добавлении элемента в одном из листьев (последнем незаполненном на данный момент) найдется свободное место, что позволит осуществить быструю вставку(<math>O(1)</math>).
 
Реже мы столкнемся со случаем, когда необходимо создать новый лист. Достаточно всего лишь добавить указатель в свободную ячейку главного массива, что также позволит произвести вставку элемента за <math>O(1)</math>.
 
Самый интересный случай {{---}} когда главный массив и все листья заполнены. Сначала вычислим новый размер HAT {{---}} следующая степень двойки (главный массив и каждый лист все еще равны между собой). Далее скопируем все элементы в новый экземпляр HAT, при этом освобождая старые листья, перераспределим элементы по новым(размер листа изменился).
 
Такой подход к расширению помогает избежать избыточного перекопирования, используемого во многих реализациях массивов переменной длины. Копировать элементы мы будем только тогда, когда главный массив полон(достигли соответствующей степени двойки). Например, для N=4, общая сумма перекопирования будет равна 1+4+16+64+256+...+N. Воспользуемся тождеством: <math>(x^{n+1} -1)=(x-1)(1+x+x^2+x^3+... + x^n)</math>, тогда для нашего случая: <math>1 +4+4^2+4^3+...+4^n = (4^{n+1} -1)/(4-1) = (4N-1)/3</math>, или около <math>4N/3</math>. Это означает, что среднее число дополнительных операций копирования - <math>O(N)</math> для последовательного добавления N элементов, а не <math>O(N^2)</math>.
 
  
===Расход памяти===
+
Оставшуюся часть матрицы вычислим с использованием цен редактирования расстояния Левенштейна и рекуррентного соотношения для <tex>d_{i,j}</tex>:
При перераспределении и копировании HAT использует меньше памяти, чем в стандартных подходах. Самый плохой случай для HAT {{--}} размер элементов равен размеру указателей, и число элементов на один больше числа, при котором происходит расширение структуры(N=ResizeValue+1). Для этого случая значения приведены в таблице.
 
Затраты памяти в  самом плохом случае {{---}} <math>(top+leaf-1) ~= 2*\sqrt{N} = O(\sqrt{N})</math>. Если последний лист будет половиной полного, то ожидаемая трата памяти уменьшается до <math>(top + leaf/2) ~= 1.5*\sqrt{N}</math>, а это все еще <math>O(\sqrt{N})</math>.
 
Сравним с другими структурами, добавляющими элементы за <math>O(1)</math>. Например, отдельно связанные списки требуют O(N) памяти (один указатель для каждого элемента).
 
  
===Эффективность===
+
<tex>w(a,{\varepsilon}) = 1</tex>
Сравнивая со стандартным массивом переменной длины, реализованным в стандартной библиотеке С++, мы получаем, что благодаря предвычислению (1<<power)-1, разыменование элементов в HAT происходит приблизительно в два раза быстрее, чем разыменование в стандартном массиве С++. Рассмотрим несколько графиков, показывающих скорость работы HAT на некоторых алгоритмах:
 
*1) Быстрая сортировка(QuickSort). График сравнивает HAT и стандартный массив в С++(левый график).
 
*2) Добавление и сортировка(правый график).
 
  
Все стандартные тесты были выполнены на 100Mhz HP 700 series PA-RISC workstation running HPUX 9.01 with 256 MB of memory.
+
<tex>w({\varepsilon}, b) = 1</tex>
  
==Заключение==
+
<tex>w(a, b) = \left\{\begin{array}{llcl}
HAT {{---}} удобная структура данных переменной длины, позволяющая добавить N элементов за <math>O(N)</math> времени и требующая <math>O(\sqrt{N})</math> памяти. HAT обеспечивает все стандартные возможности обычных массивов, включая произвольный доступ к элементам. Она поддерживает известный объем памяти для любого количества элементов и не требует специальной настройки для эффективной работы приложений.
+
0&,\ a{\ne}b\\
Таким образом, HAT предлагает ряд существенных преимуществ над другими реализациями массивов переменной длины.
+
1&,\ a=b\\
 +
\end{array}\right.
 +
</tex>
  
==Литература==
+
<tex>d_{i,j} = min(d_{i-1,j} + w(x_i,{\varepsilon}), d_{i,j-1} + w({\varepsilon}, y_j), d_{i-1,j-1} + w(x_i, y_i))</tex>
*Cline, M.P. and G.A. Lomow, C++ FAQs, Reading, MA: Addison-Wesley, 1995.  
+
 
*Cormen, T.H., C.E. Leiserson, and R.L. Rivest. Introduction to Algorithms, Cambridge, MA: MIT Press, 1990.
+
Теперь каждое значение, не превосходящее <tex>k</tex>, в последней строке указывает позицию в тексте, в которой заканчивается строка, имеющая не больше <tex>k</tex> отличий от образца.
 +
===Пример===
 +
Рассмотрим этот подход к решению задачи на примере: пусть <tex>X=ABCDE, Y=ACEABPCQDEABCR</tex>. Построим матрицу расстояний для этого случая:
 +
[[Файл:Table_k_razlichiy.png]]
 +
 
 +
Последняя строка матрицы показывает, что вхождения образца с точностью до <tex>2</tex> отличий, заканчиваются в позициях <tex>3</tex>, <tex>10</tex>, <tex>13</tex> и <tex>14</tex>. Соответствующими подстроками являются <tex>ACE</tex>, <tex>ABPCQDE</tex>, <tex>ABC</tex> и <tex>ABCR</tex>.
 +
 
 +
==Алгоритм==
 +
 
 +
[[Алгоритм_Укконена|Алгоритм Укконена]] говорит, что при вычисления расстояний между строками, диагонали матрицы можно пронумеровать целыми числами <tex>p {\in} [-m, n]</tex>, таким образом, чтобы диагональ <tex>p</tex> состояла из элементов <tex>(i, j)</tex>, у которых <tex>j - i = p</tex>. Пусть <tex>r_{p,q}</tex> представляет наибольшую строку <tex>i</tex>, у которой <tex>d_{i,j} = q</tex> и <tex>(i, j)</tex> лежит на диагонали <tex>p</tex>. Таким образом, <tex>q</tex> – это минимальное число различий между <tex>x(1, r_{p,q})</tex> и любой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r_{p,q}+p}</tex>. Значение <tex>m</tex> в строке <tex>r_{p,q}</tex>, для <tex>q < k</tex>, указывает, что в тексте имеется вхождение образца с точностью до <tex>k</tex> отличий, заканчивающееся в <tex>y_{m+p}</tex>. Таким образом, чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, достаточно вычислить значения <tex>r_{p,q}</tex> для <tex>q < k</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим алгоритм вычисления <tex>r_{p,q}</tex>.
 +
'''for''' p = 0 '''to''' n
 +
    r(p,-1) = -1
 +
'''for''' p = -(k+1) '''to''' -1
 +
    r(p,|p|-1) = |p|-1
 +
    r(p,|p|-2) = |p|-2
 +
'''for''' q = -1 '''to''' k
 +
    r(n+1,q) = -1
 +
'''for''' q = 0 '''to''' k
 +
  '''for''' p = -q '''to''' n
 +
      r = max(r(p,q-1) + 1, r(p-1,q-1), r(p+1,q-1) + 1)
 +
      r = min(r, m)
 +
      '''while''' r < m '''and''' r + p < n '''and''' x(r+1) = y(r+1+p)
 +
        r++
 +
      r(p,q) = r
 +
      '''if''' r(p,q) = m
 +
        имеется вхождение с k отличиями, заканчивающееся в y(p+m)
 +
Алгоритм вычисляет значения <tex>r_{p,q}</tex> на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Для каждой диагонали переменной строки <tex>r</tex> можно присвоить не больше <tex>m</tex> различных значений, что приводит к времени вычислений <tex>O(mn)</tex>. Рассмотрим как можно ускорить решение этой задачи, используя другие методы.
 +
===Предварительные вычисления===
 +
 
 +
На этапе предварительной обработки, с помощью алгоритма Вейнера<ref>[http://europa.zbh.uni-hamburg.de/pubs/pdf/GieKur1997.pdf Giegerich R., Kurtz S. {{---}} From Ukkonen to McCreight and Weiner: A Unifying View of Linear-Time Suffix Tree Construction]</ref> строится [[wikipedia:ru:Суффиксное_дерево|суффиксное дерево]] строки <tex>y{\#}x{\$}</tex>, где <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex> – символы, не принадлежащие алфавиту, над которыми построены строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Этот алгоритм требует линейных затрат памяти, и, для алфавита фиксированного размера, линейного времени. Для неограниченных алфавитов этот алфавит можно преобразовать так, что он будет выполняться за время <tex>O(n\log{\sigma})</tex>, где <tex>\sigma</tex> – число различающихся символов образца. Стадия предварительной обработки требует время <tex>O(n)</tex> и <tex>O(n\log{m})</tex> для постоянного и неограниченного алфавитов, соответственно.
 +
===Модификация предыдущего алгоритма===
 +
 
 +
В приведенном выше алгоритме перед циклом <tex>while</tex> для диагонали <tex>p</tex>, переменной <tex>r</tex> было присвоено такое значение, что <tex>x(1, r)</tex> сопоставляется с точностью до <tex>k</tex> различий с некоторой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r+p}</tex>. Тогда функция цикла <tex>while</tex> находит максимальное значение для которого <tex>x(r+1, r+h) = y(r+p+1, r+p+h)</tex>. Обозначим это значение как <tex>h</tex>. Это эквивалентно нахождению длины самого длинного общего префикса суффиксов <tex>x(r+1, m)\$</tex> и <tex>y(r+p+1,n){\#}x{\$}</tex> предварительно вычисленной конкатенированной строки. Символ <tex>\#</tex> используется для предотвращения ситуаций, в которых может ошибочно рассматриваться префикс, состоящий из символов как <tex>y</tex>, так и <tex>x</tex>. Обозначим <tex>lca(r,p)</tex> как самый низкий общий предок в суффиксном дереве с листьями, определенными вышеуказанными суффиксами, тогда нужное значение <tex>h</tex> задается <tex>length(lca(r,p))</tex>.
 +
===Оценка времени работы===
 +
 
 +
Суффиксное дерево имеет <tex>O(n)</tex> узлов. Для поддержки определения самого низкого общего предка за линейное время, алгоритмам <tex>LCA</tex> требуется преобразование дерева, проводимое за линейное время. Значения <tex>r_{p,q}</tex> вычисляются на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Более того, для каждой диагонали надо вычислить <tex>k+1</tex> таких значений, что в общей сложности дает <tex>O(kn)</tex> запросов. Таким образом, общее время работы алгоритма k различий составляет <tex>O(kn)</tex> для алфавитов фиксированного размера, и <tex>O(n * \log{m} + kn)</tex> для неограниченных алфавитов.
 +
===Параллельная версия алгоритма===
 +
 
 +
В 1989 году Ландау и Вишкин разработали параллельную версию алгоритма. Она позволяет уменьшить время работы до <tex>O(\log{n}+k)</tex>, при использовании одновременно <tex>n</tex> процессоров. Для данной оценки необходимо, чтобы каждый из процессоров выполнял последовательный запрос <tex>LCA</tex> за <tex>O(1)</tex>.
 +
 
 +
==Примечания==
 +
<references/>
 +
 
 +
==Источники информации==
 +
* [http://algolist.manual.ru/search/fsearch/k_razl.php  k-различий - алгоритм Ландау-Вишкина]

Текущая версия на 20:22, 22 мая 2015

Формулировка задачи: По заданному слову [math]X[0..m-1][/math] найти в тексте или словаре [math]Y[0..n-1][/math] все слова, совпадающие с этим словом (или начинающиеся с этого слова) с учетом [math]k[/math] возможных различий.

Описание задачи с точки зрения динамического программирования[править]

Пусть [math]d_{i,j}[/math] - расстояние между префиксами строк [math]x[/math] и [math]y[/math], длины которых равны, соответственно, [math]i[/math] и [math]j[/math], то есть [math]d_{i,j} = d(x(1,i), y(1,j))[/math]. Чтобы решить задачу [math]k[/math] различий, матрицу расстояний надо преобразовать таким образом, чтобы [math]d_{i,j}[/math] представлял минимальное расстояние между [math]x(1, i)[/math] и любой подстрокой [math]y[/math], заканчивающейся символом [math]y_j[/math]. Для этого достаточно ввести условие:

[math]d_{0,j} = 0, 0 \lt j \lt n[/math] .

Оставшуюся часть матрицы вычислим с использованием цен редактирования расстояния Левенштейна и рекуррентного соотношения для [math]d_{i,j}[/math]:

[math]w(a,{\varepsilon}) = 1[/math]

[math]w({\varepsilon}, b) = 1[/math]

[math]w(a, b) = \left\{\begin{array}{llcl} 0&,\ a{\ne}b\\ 1&,\ a=b\\ \end{array}\right. [/math]

[math]d_{i,j} = min(d_{i-1,j} + w(x_i,{\varepsilon}), d_{i,j-1} + w({\varepsilon}, y_j), d_{i-1,j-1} + w(x_i, y_i))[/math]

Теперь каждое значение, не превосходящее [math]k[/math], в последней строке указывает позицию в тексте, в которой заканчивается строка, имеющая не больше [math]k[/math] отличий от образца.

Пример[править]

Рассмотрим этот подход к решению задачи на примере: пусть [math]X=ABCDE, Y=ACEABPCQDEABCR[/math]. Построим матрицу расстояний для этого случая: Table k razlichiy.png

Последняя строка матрицы показывает, что вхождения образца с точностью до [math]2[/math] отличий, заканчиваются в позициях [math]3[/math], [math]10[/math], [math]13[/math] и [math]14[/math]. Соответствующими подстроками являются [math]ACE[/math], [math]ABPCQDE[/math], [math]ABC[/math] и [math]ABCR[/math].

Алгоритм[править]

Алгоритм Укконена говорит, что при вычисления расстояний между строками, диагонали матрицы можно пронумеровать целыми числами [math]p {\in} [-m, n][/math], таким образом, чтобы диагональ [math]p[/math] состояла из элементов [math](i, j)[/math], у которых [math]j - i = p[/math]. Пусть [math]r_{p,q}[/math] представляет наибольшую строку [math]i[/math], у которой [math]d_{i,j} = q[/math] и [math](i, j)[/math] лежит на диагонали [math]p[/math]. Таким образом, [math]q[/math] – это минимальное число различий между [math]x(1, r_{p,q})[/math] и любой подстрокой текста, заканчивающейся [math]y_{r_{p,q}+p}[/math]. Значение [math]m[/math] в строке [math]r_{p,q}[/math], для [math]q \lt k[/math], указывает, что в тексте имеется вхождение образца с точностью до [math]k[/math] отличий, заканчивающееся в [math]y_{m+p}[/math]. Таким образом, чтобы решить задачу [math]k[/math] различий, достаточно вычислить значения [math]r_{p,q}[/math] для [math]q \lt k[/math].

Рассмотрим алгоритм вычисления [math]r_{p,q}[/math].

for p = 0 to n
   r(p,-1) = -1
for p = -(k+1) to -1
   r(p,|p|-1) = |p|-1
   r(p,|p|-2) = |p|-2
for q = -1 to k
   r(n+1,q) = -1
for q = 0 to k
  for p = -q to n
     r = max(r(p,q-1) + 1, r(p-1,q-1), r(p+1,q-1) + 1)
     r = min(r, m)
     while r < m and r + p < n and x(r+1) = y(r+1+p)
        r++
     r(p,q) = r
     if r(p,q) = m
        имеется вхождение с k отличиями, заканчивающееся в y(p+m)

Алгоритм вычисляет значения [math]r_{p,q}[/math] на [math]n+k+1[/math] диагоналях. Для каждой диагонали переменной строки [math]r[/math] можно присвоить не больше [math]m[/math] различных значений, что приводит к времени вычислений [math]O(mn)[/math]. Рассмотрим как можно ускорить решение этой задачи, используя другие методы.

Предварительные вычисления[править]

На этапе предварительной обработки, с помощью алгоритма Вейнера[1] строится суффиксное дерево строки [math]y{\#}x{\$}[/math], где [math]\#[/math] и [math]\$[/math] – символы, не принадлежащие алфавиту, над которыми построены строки [math]x[/math] и [math]y[/math]. Этот алгоритм требует линейных затрат памяти, и, для алфавита фиксированного размера, линейного времени. Для неограниченных алфавитов этот алфавит можно преобразовать так, что он будет выполняться за время [math]O(n\log{\sigma})[/math], где [math]\sigma[/math] – число различающихся символов образца. Стадия предварительной обработки требует время [math]O(n)[/math] и [math]O(n\log{m})[/math] для постоянного и неограниченного алфавитов, соответственно.

Модификация предыдущего алгоритма[править]

В приведенном выше алгоритме перед циклом [math]while[/math] для диагонали [math]p[/math], переменной [math]r[/math] было присвоено такое значение, что [math]x(1, r)[/math] сопоставляется с точностью до [math]k[/math] различий с некоторой подстрокой текста, заканчивающейся [math]y_{r+p}[/math]. Тогда функция цикла [math]while[/math] находит максимальное значение для которого [math]x(r+1, r+h) = y(r+p+1, r+p+h)[/math]. Обозначим это значение как [math]h[/math]. Это эквивалентно нахождению длины самого длинного общего префикса суффиксов [math]x(r+1, m)\$[/math] и [math]y(r+p+1,n){\#}x{\$}[/math] предварительно вычисленной конкатенированной строки. Символ [math]\#[/math] используется для предотвращения ситуаций, в которых может ошибочно рассматриваться префикс, состоящий из символов как [math]y[/math], так и [math]x[/math]. Обозначим [math]lca(r,p)[/math] как самый низкий общий предок в суффиксном дереве с листьями, определенными вышеуказанными суффиксами, тогда нужное значение [math]h[/math] задается [math]length(lca(r,p))[/math].

Оценка времени работы[править]

Суффиксное дерево имеет [math]O(n)[/math] узлов. Для поддержки определения самого низкого общего предка за линейное время, алгоритмам [math]LCA[/math] требуется преобразование дерева, проводимое за линейное время. Значения [math]r_{p,q}[/math] вычисляются на [math]n+k+1[/math] диагоналях. Более того, для каждой диагонали надо вычислить [math]k+1[/math] таких значений, что в общей сложности дает [math]O(kn)[/math] запросов. Таким образом, общее время работы алгоритма k различий составляет [math]O(kn)[/math] для алфавитов фиксированного размера, и [math]O(n * \log{m} + kn)[/math] для неограниченных алфавитов.

Параллельная версия алгоритма[править]

В 1989 году Ландау и Вишкин разработали параллельную версию алгоритма. Она позволяет уменьшить время работы до [math]O(\log{n}+k)[/math], при использовании одновременно [math]n[/math] процессоров. Для данной оценки необходимо, чтобы каждый из процессоров выполнял последовательный запрос [math]LCA[/math] за [math]O(1)[/math].

Примечания[править]

Источники информации[править]