Объединение матроидов, проверка множества на независимость — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
  Пусть <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle </tex> {{---}} два матроида на множестве элементов <tex>X</tex> с наборами независимых множеств <tex>\mathcal{I}_1</tex> и <tex>\mathcal{I}_2</tex>.  Положим <tex> \mathcal{I} = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1, A_2 \in \mathcal{I}_2  \mathcal {g} </tex>. Множество <tex>\mathcal{I}</tex> удовлетворяет [[Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом|аксиомам независимости]], следовательно, <tex>\langle X, \mathcal{I} \rangle </tex> {{---}} матроид, для которого <tex>\mathcal{I}</tex> служит набором независимых множеств. Этот матроид называется '''объединением матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, и обозначается <tex> M_1 \cup M_2 </tex>
+
  Пусть <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle </tex> {{---}} два матроида на множестве элементов <tex>X</tex> с наборами независимых множеств <tex>\mathcal{I}_1</tex> и <tex>\mathcal{I}_2</tex>.  Положим <tex> \mathcal{I} = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1, A_2 \in \mathcal{I}_2  \mathcal {g} </tex>. Множество <tex>\mathcal{I}</tex> удовлетворяет [[Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом|аксиомам независимости]], следовательно, <tex>\langle X, \mathcal{I} \rangle </tex> {{---}} матроид, для которого <tex>\mathcal{I}</tex> служит набором независимых множеств. Этот матроид называется '''объединением матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, и обозначается <tex>M = M_1 \cup M_2 </tex>
 
}}
 
}}
 
Обычно термин "объединение" применяется, когда  носители <tex>X</tex> в обоих матроидах одинаковы, однако это не является необходимым, мы можем дополнить их до объединения, заметим, что от этого <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> не перестанут быть матроидами. Если в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> носители непересекающиеся, тогда это будет являться [[Прямая сумма матроидов|прямой суммой матроидов]].
 
Обычно термин "объединение" применяется, когда  носители <tex>X</tex> в обоих матроидах одинаковы, однако это не является необходимым, мы можем дополнить их до объединения, заметим, что от этого <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> не перестанут быть матроидами. Если в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> носители непересекающиеся, тогда это будет являться [[Прямая сумма матроидов|прямой суммой матроидов]].
Строка 10: Строка 10:
  
  
Давайте зададим функцию <tex>P_1</tex> : <tex> X \times Y \rightarrow X</tex>: <tex>P_1((x, y)) = x</tex>, а для множества <tex>B \in X \times Y</tex> выполняется <tex>P_1(B) = \{A \subset X| \forall x \in A</tex> <tex>\exists y \in B : P_1(y) = x\}</tex>.
+
==Проверка множества на независимость==
  
Определим ещё несколько матроидов, которые нам понадобятся:  
+
Зададим функцию <tex>P_1</tex> : <tex> X \times Y \rightarrow X</tex> : <tex>P_1((x, y)) = x</tex>, а для множества <tex>B \in X \times Y</tex> выполняется <tex>P_1(B) = \{A \subset X \mid \forall x \in A </tex> <tex> \exists b \in B : P_1(b) = x\}</tex>.
  
<tex>M_{\oplus} = M_1 \oplus M_2 = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex> <tex> I = \{A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2  \in I_2\} \rangle</tex>.
+
Преобразуем каждый элемент множества <tex>X</tex> в матроиде <tex>M_1</tex> в <tex>(x, 1)</tex>, а каждый элемент множества <tex>X</tex> в матроиде <tex>M_2</tex> в <tex>(x, 2)</tex>. Мы получили два матроида <tex>M'_1 = \langle (X \times \{1\}), \mathcal{I}_1 \rangle </tex> и <tex> M'_2 = \langle (X \times \{2\}), \mathcal{I}_2 \rangle </tex>. Наша функция <tex>P_1</tex> будет являться естественным отображением <tex>(x, i) \rightarrow x</tex>, где <tex>i \in \{1, 2\}</tex>.
  
<tex>M_{P_1} = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex> <tex> I_{P_1} = \{A \mid |P_1(A)| = |A|\} \rangle</tex>.
+
Затем определим два матроида, которые нам далее понадобятся:
  
Теперь перейдём к задаче. У нас есть множество и нужно проверить его независимость в объединении матроидов.
+
# <tex>M_{\oplus} = M'_1 \oplus M'_2 = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex> <tex> \mathcal{I}_{\oplus} = \{A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1, A_2  \in \mathcal{I}_2\} \rangle</tex> {{---}} прямая сумма двух матроидов (носители матроидов <tex>M'_1</tex> и <tex>M'_2</tex> при пересечении будут давать пустое множество).
Множество <tex>U</tex> - независимо, если <tex>r(U) = |U|</tex>.
+
# <tex>M_{P_1} = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex> <tex> \mathcal{I}_{P_1} = \{A \mid |P_1(A)| = |A|\} \rangle</tex> {{---}} <tex>\mathcal{I}_{P_1}</tex> в данном случае будет содержать такие независимые множества, что мощность любого множества <tex>A</tex> из <tex>\mathcal{I}_{P_1}</tex> будет равна мощности множества, получаемого функцией <tex>P_1</tex> над <tex>A</tex>, то есть  <tex>A</tex> не будет содержать одновременно <tex>(x, 1)</tex> и <tex>(x, 2)</tex>.
А можно заметить, что в матроиде <tex>M</tex> выполняется <tex>r(U) = \max\limits_{A \in I, A \in I_{P_1}, P_1(A) \subset U} |A|</tex>.
+
 
Т.е. мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов <tex>M_{\oplus}</tex> и <tex>M_{P_1}</tex>. Мы это уже умеем делать - [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]].
+
 
 +
Теперь перейдём к нашей задаче. У нас есть некоторое множество в <tex>X</tex>, и нужно проверить его независимость в объединении матроидов (то есть, лежит ли оно в <tex>\mathcal{I}</tex>).  
 +
 
 +
Множество <tex>U</tex> является независимым, если <tex>r(U) = |U|</tex>.
 +
Можно заметить, что в матроиде <tex>M</tex> выполняется <tex>r(U) = \max\limits_{A \mid A \in \mathcal{I}_{\oplus}, A \in \mathcal{I}_{P_1}, P_1(A) \subset U} |A|</tex>.  
 +
Таким образом, мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов <tex>M_{\oplus}</tex> и <tex>M_{P_1}</tex>. С помощью [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов|алгоритма построения базы в пересечении матроидов]] мы будем искать размер максимального подсета множества <tex>U' \mid P_1(U') = U</tex> в пересечении набора независимых множеств матроидов.
  
 
== См. также==
 
== См. также==
Строка 29: Строка 34:
 
* Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. {{---}} Лекции по теории графов
 
* Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. {{---}} Лекции по теории графов
 
* Chandra Chekuri {{---}} [https://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture19.pdf '''Combinatorial Optimization''']
 
* Chandra Chekuri {{---}} [https://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture19.pdf '''Combinatorial Optimization''']
 +
* Michel X. Goemans {{---}} [http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf '''Advanced Combinatorial Optimization''']
 
* https://en.wikipedia.org/wiki/Matroid
 
* https://en.wikipedia.org/wiki/Matroid
  
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Матроиды]]
 
[[Категория:Матроиды]]

Версия 16:57, 28 мая 2016

Определение:
Пусть [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle [/math] и [math] M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle [/math] — два матроида на множестве элементов [math]X[/math] с наборами независимых множеств [math]\mathcal{I}_1[/math] и [math]\mathcal{I}_2[/math]. Положим [math] \mathcal{I} = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1, A_2 \in \mathcal{I}_2 \mathcal {g} [/math]. Множество [math]\mathcal{I}[/math] удовлетворяет аксиомам независимости, следовательно, [math]\langle X, \mathcal{I} \rangle [/math] — матроид, для которого [math]\mathcal{I}[/math] служит набором независимых множеств. Этот матроид называется объединением матроидов (англ. matroid union) [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math], и обозначается [math]M = M_1 \cup M_2 [/math]

Обычно термин "объединение" применяется, когда носители [math]X[/math] в обоих матроидах одинаковы, однако это не является необходимым, мы можем дополнить их до объединения, заметим, что от этого [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] не перестанут быть матроидами. Если в [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] носители непересекающиеся, тогда это будет являться прямой суммой матроидов.

  • Операция объединения матроидов ассоциативна, следовательно, можно говорить об объединении нескольких матроидов.
  • В отличие от пересечения матроидов, объединение двух конечных (англ. finite matroid) матроидов всегда является матроидом, однако объединение двух бесконечных матроидов (англ. infinite matroid) не обязательно будет им.
  • Объединение применяется к независимым множествам, а не к матроидам в целом, то есть это операция на другом уровне, по сравнению с пересечение матроидов.


Проверка множества на независимость

Зададим функцию [math]P_1[/math] : [math] X \times Y \rightarrow X[/math] : [math]P_1((x, y)) = x[/math], а для множества [math]B \in X \times Y[/math] выполняется [math]P_1(B) = \{A \subset X \mid \forall x \in A [/math] [math] \exists b \in B : P_1(b) = x\}[/math].

Преобразуем каждый элемент множества [math]X[/math] в матроиде [math]M_1[/math] в [math](x, 1)[/math], а каждый элемент множества [math]X[/math] в матроиде [math]M_2[/math] в [math](x, 2)[/math]. Мы получили два матроида [math]M'_1 = \langle (X \times \{1\}), \mathcal{I}_1 \rangle [/math] и [math] M'_2 = \langle (X \times \{2\}), \mathcal{I}_2 \rangle [/math]. Наша функция [math]P_1[/math] будет являться естественным отображением [math](x, i) \rightarrow x[/math], где [math]i \in \{1, 2\}[/math].

Затем определим два матроида, которые нам далее понадобятся:

  1. [math]M_{\oplus} = M'_1 \oplus M'_2 = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),[/math] [math] \mathcal{I}_{\oplus} = \{A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1, A_2 \in \mathcal{I}_2\} \rangle[/math] — прямая сумма двух матроидов (носители матроидов [math]M'_1[/math] и [math]M'_2[/math] при пересечении будут давать пустое множество).
  2. [math]M_{P_1} = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),[/math] [math] \mathcal{I}_{P_1} = \{A \mid |P_1(A)| = |A|\} \rangle[/math][math]\mathcal{I}_{P_1}[/math] в данном случае будет содержать такие независимые множества, что мощность любого множества [math]A[/math] из [math]\mathcal{I}_{P_1}[/math] будет равна мощности множества, получаемого функцией [math]P_1[/math] над [math]A[/math], то есть [math]A[/math] не будет содержать одновременно [math](x, 1)[/math] и [math](x, 2)[/math].


Теперь перейдём к нашей задаче. У нас есть некоторое множество в [math]X[/math], и нужно проверить его независимость в объединении матроидов (то есть, лежит ли оно в [math]\mathcal{I}[/math]).

Множество [math]U[/math] является независимым, если [math]r(U) = |U|[/math]. Можно заметить, что в матроиде [math]M[/math] выполняется [math]r(U) = \max\limits_{A \mid A \in \mathcal{I}_{\oplus}, A \in \mathcal{I}_{P_1}, P_1(A) \subset U} |A|[/math]. Таким образом, мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов [math]M_{\oplus}[/math] и [math]M_{P_1}[/math]. С помощью алгоритма построения базы в пересечении матроидов мы будем искать размер максимального подсета множества [math]U' \mid P_1(U') = U[/math] в пересечении набора независимых множеств матроидов.

См. также

Литература