Об интеграле Фурье — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Теорема Лузина-Данжуа|<<]][[Явление Гиббса|>>]]
 +
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  
Строка 9: Строка 11:
 
С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.
 
С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.
  
<tex>a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx</tex> {{---}} существует для любого <tex>n</tex>, не только <tex>n \in \mathbb{N}</tex>
+
<tex>a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx</tex> {{---}} существует для любого <tex>n</tex>, не только натурального.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>
+
<tex>a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br />
<tex>b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>
+
<tex>b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.
 
}}
 
}}
  
Выпишем ряд <tex>\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)</tex>, где <tex>A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx</tex>
+
Выпишем ряд <tex>\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)</tex>, где <tex>A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx</tex>. Если мы будем рассматривать все вещественные значения <tex> n </tex>, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.
  
Предложение: <tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz</tex>. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана {{---}} как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.
+
Предложение: рассмотрим интеграл <tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz</tex>. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана {{---}} как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.
  
Этому можно придать более удобную форму:  
+
Ему можно придать более удобную форму:  
  
<tex>a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt</tex>
+
<tex>a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt</tex>.
  
<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> {{---}} интеграл Фурье
+
<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> {{---}} интеграл Фурье.
  
Далее мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:
+
Сейчас мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0}2</tex>
+
|statement=<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz</tex>
 
<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz</tex>
<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I</tex>
+
<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I</tex>
  
Применим теорему Фубини: <tex>g(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.  
+
Применим теорему Фубини: <tex>I(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.  
  
 
<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt</tex>
 
<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt</tex>
<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt = I</tex>
+
<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt</tex>.
  
 
Заменим: <tex>\int\limits_0^A \cos z(x-t) dz = \left. \frac{\sin z(x-t)}{x-t} \right|_0^A = \frac{\sin A(x-t)}{x-t}</tex>
 
Заменим: <tex>\int\limits_0^A \cos z(x-t) dz = \left. \frac{\sin z(x-t)}{x-t} \right|_0^A = \frac{\sin A(x-t)}{x-t}</tex>
Строка 76: Строка 78:
  
 
В рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены <tex>2\pi</tex>-периодические функции. Лемма верна и в общем случае:  
 
В рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены <tex>2\pi</tex>-периодические функции. Лемма верна и в общем случае:  
<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0</tex>
+
<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0</tex>.
  
 
Тогда рассмотрим первый из интегралов: <tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt</tex> и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> и <tex>f</tex> {{---}} суммируема.  
 
Тогда рассмотрим первый из интегралов: <tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt</tex> и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> и <tex>f</tex> {{---}} суммируема.  
  
Тогда <tex>\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> {{---}} суммируемая, а значит, и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|</tex> {{---}} суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\to_{A\to\infty} 0</tex>
+
Тогда <tex>\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> {{---}} суммируемая, а значит, и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|</tex> {{---}} суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\to_{A\to\infty} 0</tex>.
  
 
Итак, собирая всё вместе, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}t dt \to_{A\to+\infty} 0</tex>
 
Итак, собирая всё вместе, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}t dt \to_{A\to+\infty} 0</tex>
Строка 86: Строка 88:
 
Значит, для <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\exists A_0 : \forall A > A_0 : \left|\int\limits_\delta^{+\infty}\right| < \varepsilon</tex>
 
Значит, для <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\exists A_0 : \forall A > A_0 : \left|\int\limits_\delta^{+\infty}\right| < \varepsilon</tex>
  
Принимая это во внимание в оценке отклонения <tex>|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon</tex>, получается, что <tex>s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)</tex>, или, <tex>s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz</tex> в условиях, когда <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt <+\infty</tex>
+
Принимая это во внимание в оценке отклонения <tex>|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon</tex>, получаем, что <tex>s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)</tex>, или, <tex>s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz</tex> в условиях, когда <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt <+\infty</tex>.
  
 
В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке <tex>x</tex> существуют односторонние пределы, что если <tex>s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>, то для этого <tex>s</tex> условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.
 
В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке <tex>x</tex> существуют односторонние пределы, что если <tex>s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>, то для этого <tex>s</tex> условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Теорема Лузина-Данжуа|<<]][[Явление Гиббса|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Версия 17:20, 24 июня 2012

<<>>

Эта статья находится в разработке!

Голова человеческая устроена линейно, поэтому, если оператор — нелинейный, то это — мрак полный. Живите линейно!

Ряд Фурье имеет дело с [math]2\pi[/math]-периодической суммируемой на [math]Q[/math] функцией.

Пусть [math]f[/math] задана на всём [math]\mathbb{R}[/math] и [math]\int\limits_{\mathbb{R}} |f| \lt +\infty[/math]. Можно ли писать аналог ряда Фурье?

С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.

[math]a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx[/math] — существует для любого [math]n[/math], не только натурального.


Определение:
[math]a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt[/math] — косинусное преобразование [math]f[/math].
[math]b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt[/math] — синусное преобразование [math]f[/math].


Выпишем ряд [math]\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)[/math], где [math]A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx[/math]. Если мы будем рассматривать все вещественные значения [math] n [/math], а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.

Предложение: рассмотрим интеграл [math]\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz[/math]. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана — как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.

Ему можно придать более удобную форму:

[math]a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt[/math].

[math]\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz[/math] — интеграл Фурье.

Сейчас мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:

Утверждение:
[math]\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz[/math] [math]= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I[/math]

Применим теорему Фубини: [math]I(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz[/math] — частный случай интеграла Фурье.

[math]I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt[/math] [math]= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt[/math].

Заменим: [math]\int\limits_0^A \cos z(x-t) dz = \left. \frac{\sin z(x-t)}{x-t} \right|_0^A = \frac{\sin A(x-t)}{x-t}[/math]

[math]I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I[/math]

Сделаем замену переменной: [math]u=t-x[/math]

[math]I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du[/math] — аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье.

Проделаем то же самое, что и с рядами Фурье: сведём к полуоси:

[math]I(A) = \frac1\pi \left(\int\limits_{-\infty}^0 + \int\limits_0^{+\infty}\right)[/math] [math]=\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} (f(x+t) + f(x-t))\frac{\sin At}t dt[/math]

[math]\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin t}t dt = \frac\pi2[/math] — интеграл Дирихле. [math]\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}{At} d(At) = \frac\pi2[/math]

[math]\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} 2s \frac{\sin t}t dt = s[/math]

[math]I(A) - s = \frac1\pi\int\limits_{\mathbb{R}_+} [f(x+t)+f(x-t)-2s]\frac{\sin At}t dt[/math] — основное соотношение для исследования сходимости интеграла Фурье в индивидуальной точке.

Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье.

Предположим, что для некоторого [math]\Delta[/math]: [math]\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt \lt +\infty[/math]. Возьмём [math]\delta \in (0; \Delta)[/math].

Рассмотрим [math]|I(A)-s|=\frac1\pi \left|\int\limits_0^\delta + \int\limits_\delta^{+\infty}\right|[/math] [math]\le \frac1\pi\left(\int\limits_0^\delta\frac{|\varphi_x(t)|}{t}dt+ \left|\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt\right| \right)[/math]

Так как, по условию, [math]\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt \lt +\infty[/math], то [math]\forall\varepsilon\gt 0 \exists\delta\in(0;\Delta) : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt \lt \varepsilon[/math]

Далее считаем, что [math]\delta[/math] уже такое и заметим, что оно выбрано вне зависимости от [math]A[/math]. Значит,

[math]|I(A)-s| \le \frac1\pi\left( \varepsilon + \int\limits_\delta^{+\infty}\varphi_x(t)\frac{\sin At}t dt\right)[/math]

[math]\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{At} d(At) = \int\limits_{\delta A}^{+\infty} \frac{\sin t}t dt[/math], что, при [math]A\to+\infty[/math], стремится к [math]0[/math].

Значит, при [math]A\to\infty[/math], [math]\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt \to 0[/math]

В рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены [math]2\pi[/math]-периодические функции. Лемма верна и в общем случае: [math]f[/math] — суммируема на оси [math]\Rightarrow[/math] [math]\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0[/math].

Тогда рассмотрим первый из интегралов: [math]\int\limits_0^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt[/math] и [math]\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}[/math] и [math]f[/math] — суммируема.

Тогда [math]\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}[/math] — суммируемая, а значит, и [math]\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|[/math] — суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, [math]\int\to_{A\to\infty} 0[/math].

Итак, собирая всё вместе, [math]\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}t dt \to_{A\to+\infty} 0[/math]

Значит, для [math]\varepsilon[/math], [math]\exists A_0 : \forall A \gt A_0 : \left|\int\limits_\delta^{+\infty}\right| \lt \varepsilon[/math]

Принимая это во внимание в оценке отклонения [math]|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon[/math], получаем, что [math]s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)[/math], или, [math]s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz[/math] в условиях, когда [math]\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math].

В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке [math]x[/math] существуют односторонние пределы, что если [math]s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math], то для этого [math]s[/math] условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>