Об обратных теоремах теории приближения функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
Строка 18: Строка 18:
 
<tex>T_1 + U_{2^1} + U_{2^2} + \ldots = f</tex>
 
<tex>T_1 + U_{2^1} + U_{2^2} + \ldots = f</tex>
  
<tex>\|U'_{2^n}\| \le 2^n\|U_{2^n}\|</tex> [по неравенству Бернштейна] <tex>\le 2^n(\|T_{2^n} - f\| + \|T_{2^{n-1}} - f\|)</tex> [наилучшее прибижение] <tex>2^n(E_{2^n}(f) + E_{2^{n-1}}(f))</tex> <tex>\le 2 \cdot 2^nE_{2^{n-1}}(f)</tex> <tex>\le 2\cdot2^n\frac{1}{2^{2n-2}}</tex> <tex>= B\cdot \frac1{2^n}</tex>
+
<tex>\|U'_{2^n}\| \le 2^n\|U_{2^n}\|</tex> [по неравенству Бернштейна] <tex>\le 2^n(\|T_{2^n} - f\| + \|T_{2^{n-1}} - f\|)</tex> [наилучшее прибижение] <tex>2^n(E_{2^n}(f) + E_{2^{n-1}}(f))</tex> <tex>\le 2 \cdot 2^nE_{2^{n-1}}(f)</tex> <tex>\le 2\cdot2^n\frac{A}{2^{2n-2}}</tex> <tex>= \frac{A}{8}\cdot \frac1{2^n}</tex>
  
 
Ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией <tex>\Rightarrow</tex> по признаку Вейерштрасса, он равномерно сходится <tex>\Rightarrow</tex> ряд можно почленно дифференцировать <tex>\Rightarrow</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
 
Ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией <tex>\Rightarrow</tex> по признаку Вейерштрасса, он равномерно сходится <tex>\Rightarrow</tex> ряд можно почленно дифференцировать <tex>\Rightarrow</tex> у <tex>f</tex> есть производная.

Текущая версия на 22:43, 27 июня 2012

<<>> на главную

Ранее была установлена теорема Джексона, показывающая, что скорость, с которой наилучшее приближение функции тригонометрическими полиномами стремится к нулю, напрямую связана с её структурными свойствами.

Чем более гладкая функция, тем быстрее стремятся к ней её наилучшие приближения. Бернштейн обнаружил, что верно и обратное: скорость приближения определяет структурные свойства функции. Установим одну из теорем Бернштейна, потом приведём общие формулировки.

Теорема (Бернштейн):
[math]E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По теореме Вейерштрасса, если [math]T_n(f)[/math] — полином наилучшего приближения [math]f[/math] степени [math]\le n[/math], то [math]T_n(f) \rightrightarrows f[/math] на [math]\mathbb{R}[/math]

[math]T_{2^n} \rightrightarrows f[/math]

[math]U_{2^n} = T_{2^n} - T_{2^{n-1}}[/math]

[math]T_1 + U_{2^1} + U_{2^2} + \ldots = f[/math]

[math]\|U'_{2^n}\| \le 2^n\|U_{2^n}\|[/math] [по неравенству Бернштейна] [math]\le 2^n(\|T_{2^n} - f\| + \|T_{2^{n-1}} - f\|)[/math] [наилучшее прибижение] [math]2^n(E_{2^n}(f) + E_{2^{n-1}}(f))[/math] [math]\le 2 \cdot 2^nE_{2^{n-1}}(f)[/math] [math]\le 2\cdot2^n\frac{A}{2^{2n-2}}[/math] [math]= \frac{A}{8}\cdot \frac1{2^n}[/math]

Ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией [math]\Rightarrow[/math] по признаку Вейерштрасса, он равномерно сходится [math]\Rightarrow[/math] ряд можно почленно дифференцировать [math]\Rightarrow[/math] у [math]f[/math] есть производная.
[math]\triangleleft[/math]

Примечание: можно было бы попросить [math]E_n(f) \le \frac1{n^{\alpha + 1}}[/math], где [math]\alpha \gt 0[/math].

<<>> на главную