Редактирование: Оператор замыкания для матроидов

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 46: Строка 46:
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
# По первому свойству очевидно, что <tex>\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A  \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но  <tex>r(A \cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \in \langle A \rangle</tex>), значит, <tex>r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in  \langle A \cup e \rangle</tex> и <tex>e \in \langle A \rangle</tex>, то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex>.<br>Следовательно, по определению, <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.
 
# По первому свойству очевидно, что <tex>\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A  \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но  <tex>r(A \cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \in \langle A \rangle</tex>), значит, <tex>r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in  \langle A \cup e \rangle</tex> и <tex>e \in \langle A \rangle</tex>, то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex>.<br>Следовательно, по определению, <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.
# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup \ldots \rangle = \langle A \rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle</tex>)
+
# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup ... \rangle = \langle A \rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, ...\in \langle A \rangle</tex>)
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)