Оператор замыкания для матроидов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Исправлена ошибка в доказательстве в первой части)
Строка 6: Строка 6:
 
|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].
 
|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].
 
|proof =
 
|proof =
Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по аксиоме замен<ref>[[Определение матроида | Определение матроида]], 3-я аксиома</ref> <tex>\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>, то <tex>p \notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> По определению замыкания существует множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> В силу аксиомы наследования<ref>[[Определение матроида | Определение матроида]], 2-я аксиома</ref> можно считать, что <tex>|H| = |B|.</tex> Тогда <tex>r(A) = |H| < |B \cup p|.</tex> По аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex>  
+
Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по аксиоме замен<ref>[[Определение матроида | Определение матроида]], 3-я аксиома</ref> <tex>\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>, то <tex>p \notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex>  
  
Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A</tex> (противоречит максимальности множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
+
Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
 
}}
 
}}
  
Строка 24: Строка 24:
 
#* <tex> q \in A \cup p. </tex> Зная, что <tex> p \notin \langle A \rangle, </tex> приходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.
 
#* <tex> q \in A \cup p. </tex> Зная, что <tex> p \notin \langle A \rangle, </tex> приходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.
 
#* <tex> \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. </tex>  
 
#* <tex> \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. </tex>  
#*: Заметим что <tex> p \in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> подходило для <tex> q \in \langle A \rangle, </tex> поэтому запишем данное нам иначе:  
+
#*: Заметим что <tex> p \in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> подходило для <tex> q \in \langle A \rangle, </tex> поэтому запишем данное нам иначе, положив <tex>  H' = H \setminus p: </tex>
 
#*:: <tex> \exists H' \subseteq A:\ H' \cup p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I. </tex>  
 
#*:: <tex> \exists H' \subseteq A:\ H' \cup p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I. </tex>  
 
#*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex> q \in \langle A \rangle. </tex>
 
#*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex> q \in \langle A \rangle. </tex>

Версия 16:34, 8 июня 2014

Определение:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math]матроид. Тогда замыкание (closure) множества [math]A \subseteq X[/math] — это множество [math]\langle A \rangle \subseteq X[/math] такое, что [math]\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}[/math]


Лемма:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] — матроид, [math]A \subseteq X[/math]. Тогда [math]r(A) = r(\langle A \rangle),[/math] где [math]r[/math]ранг.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть существуют множества [math]B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) \lt r(\langle A \rangle) = |D|.[/math] Тогда по аксиоме замен[1] [math]\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.[/math] Так как [math]B[/math] — максимальное независимое множество из [math] A [/math], то [math]p \notin A,[/math] то есть [math] p \in \langle A \rangle \setminus A. [/math] Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество [math]H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.[/math] Поскольку [math] |H| \leqslant |B| \lt |B \cup p|,[/math] то по аксиоме замены существует [math]q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.[/math]

Если [math]q \in B,[/math] то [math](H \cup q) \subseteq A,\ [/math] но [math] (H \cup q) \cup p \notin I [/math] в силу [math] H \cup p \notin I [/math] (противоречие с максимальностью множества [math]H[/math]). Если [math]q = p,[/math] то [math](H \cup p) \in I[/math] (противоречит выбору множества [math]H[/math]).
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Оператор замыкания для матроидов обладает следующими свойствами:
  1. [math]A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle[/math]
  2. [math]q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle[/math]
  3. [math]\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Положим [math]x \in \langle A \rangle.[/math] В соответствии с определением оператора замыкания есть 2 случая:
    • [math] x \in A. [/math] Тогда [math] x \in B [/math], и следовательно [math] x \in \langle B \rangle. [/math]
    • [math]\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.[/math] Для такого [math] H [/math] также верно [math]H \subseteq B,[/math] потому [math]x \in \langle B \rangle.[/math]
  2. Опять два случая:
    • [math] q \in A \cup p. [/math] Зная, что [math] p \notin \langle A \rangle, [/math] приходим к [math] q = p, [/math] чего нам более чем достаточно.
    • [math] \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. [/math]
      Заметим что [math] p \in H [/math], иначе бы [math] H [/math] подходило для [math] q \in \langle A \rangle, [/math] поэтому запишем данное нам иначе, положив [math] H' = H \setminus p: [/math]
      [math] \exists H' \subseteq A:\ H' \cup p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I. [/math]
      [math] H' \cup q \in I [/math], в противном случае в силу [math] H' \in I [/math] было бы [math] q \in \langle A \rangle. [/math]
      Как видим, множество [math] H' \cup q [/math] подходит под определение [math] p \in \langle A \cup q \rangle. [/math]
  3. Из определения понятно, что [math] \langle A \rangle \subseteq \langle \langle A \rangle \rangle [/math]. Предположим [math]\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.[/math] Возьмем максимальное по мощности множество [math]B \in I :\ B \subseteq A.[/math] Так как [math]p \notin \langle A \rangle,[/math] то по определению замыкания [math]B \cup p \in I.[/math] Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды определение ранга и снова лемму, получим [math]r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \geqslant |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,[/math] что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]

Примечания

Источники информации

Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2