Оператор замыкания для матроидов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Часть перенесена в новую статью (см. "смотри также"))
Строка 1: Строка 1:
−
== Замыкание ==
 
−
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>
 
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>
Строка 33: Строка 31:
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
# Из определения понятно, что <tex> \langle A \rangle \subseteq \langle \langle A \rangle \rangle </tex>. Предположим <tex>\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.</tex> Возьмем максимальное по мощности множество <tex>B \in I :\ B \subseteq A.</tex> Так как <tex>p \notin \langle A \rangle,</tex> то по определению замыкания <tex>B \cup p \in I.</tex> Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды [[Ранговая функция, полумодулярность | определение ранга]] и снова лемму, получим <tex>r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \geqslant |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,</tex> что невозможно.
 
# Из определения понятно, что <tex> \langle A \rangle \subseteq \langle \langle A \rangle \rangle </tex>. Предположим <tex>\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.</tex> Возьмем максимальное по мощности множество <tex>B \in I :\ B \subseteq A.</tex> Так как <tex>p \notin \langle A \rangle,</tex> то по определению замыкания <tex>B \cup p \in I.</tex> Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды [[Ранговая функция, полумодулярность | определение ранга]] и снова лемму, получим <tex>r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \geqslant |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,</tex> что невозможно.
−
}}
 
−
 
−
== Покрытие ==
 
−
 
−
{{Определение
 
−
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид. Тогда '''покрытие''' (англ. ''span'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex> span(A) = \mathcal {f} x \in X \; |\; r(A) = r(A \cup x) \mathcal {g}</tex>
 
−
}}
 
−
{{Определение
 
−
|definition = <tex> span(A) = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \forall S \subseteq A \setminus x,\ S \in I,\ |S| = r(A) :\ S \cup x \notin I \mathcal {g} </tex>
 
−
}}
 
−
 
−
{{Утверждение
 
−
|statement=Эти определения эквивалентны.
 
−
|proof=Понятно, что элементы из <tex> A </tex> подходят под оба определения. Для остальных же <tex> x </tex> равенство <tex> \ r(A) = r(A \cup x) </tex> означает, что не найдётся множеств <tex> S' \subseteq A \cup x :\ S' \in I,\ |S'| > r(A). </tex> Для такого <tex> S' </tex> обязательно будет выполнено <tex> x \in S', </tex> в противном случае <tex> S' \subseteq A, </tex> откуда следует <tex> r(A) \geqslant |S'|. </tex> Следовательно для <tex> S = S' \setminus x </tex> верно <tex> S \subseteq A,\ S \in I. </tex> Из последнего получается, что <tex> r(A) \geqslant |S|, </tex> и учитывая <tex> r(A) < |S'|,\ |S| + 1 = |S'| </tex> имеем <tex> r(A) = |S|. </tex>
 
−
 
−
Иначе говоря, не должно существовать множеств <tex> S \subseteq A,\ x \notin S,\ S \in I,\ |S| = r(A):\ S' = S \cup x \in I. </tex>
 
−
}}
 
−
 
−
{{Утверждение
 
−
|statement=Для множества <tex> A \in X </tex> выполнено <tex> span(A) \subseteq \langle A \rangle. </tex>
 
−
|proof=Покажем, что следующее определение замыкания равносильно тому, которое [[Оператор замыкания для матроидов | было дано]] ранее:
 
−
: <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A \setminus x, \; H \in I , \; |H| = r(A) :\ H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>
 
−
По сравнению со старым определением появилось два ограничения, нужно убедится в том, что они не существены. Сначала рассмотрим <tex> |H| = r(A). </tex>
 
−
: Пусть <tex> \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I, </tex> но <tex> |H| < r(A). </tex>  По [[Ранговая функция, полумодулярность | определению ранга]] <tex> \exists D \subseteq A ,\; D \in I :\ |D| = r(A). </tex> Поскольку <tex> |H| < |D| </tex>, можно применить 3-ю аксиому матроидов несколько раз и получить <tex> H' \subseteq A :\ H \subseteq H' ,\; H' \in I ,\; |H'| = r(A). </tex>
 
−
: <tex> H' \cup x \notin I </tex> также будет выполнено, поскольку в противном случае <tex> H \cup x \notin I </tex> будет неверно (в силу 2-ой аксиомы матроидов).
 
−
Второе ограничение {{---}} <tex> H \subseteq A \setminus x </tex> вместо <tex> H \subseteq A </tex> {{---}} подразумевается само собой, поскольку в случае <tex> x \in H </tex> не могут одновременно выполнятся <tex> H \in I </tex> и <tex> H \cup x \notin I. </tex>
 
−
}}
 
−
 
−
 
−
{{Теорема
 
−
|id = theorem2
 
−
|statement = Покрытие обладает следующими свойствами:
 
−
# <tex> A, B \in X;\ A \subseteq span(B) \ \Rightarrow \ span(A) \subseteq span(B) </tex>
 
−
# <tex> A \in X,\ p \in X \setminus A,\ q \in span(A \cup p) \Rightarrow p \in span(A \cup q) </tex>
 
−
|proof =
 
−
}}
 
−
 
−
 
−
== Закрытые множества ==
 
−
{{Определение
 
−
|definition = Множество <tex>A \subseteq X</tex> называется '''закрытым''' (англ. ''closed set'', ''flat''), если <tex> span(A) = A. </tex> Класс закрытых множеств обозначается <tex> \mathcal L. </tex>
 
−
}}
 
−
 
−
{{Теорема
 
−
|id = theorem3
 
−
|statement = Замкнутые множества обладают следующими свойствами:
 
−
# <tex> A, B \in \mathcal L \ \; \Rightarrow \ A \cap B \in \mathcal L </tex>
 
−
# Если <tex> F \in \mathcal L,\ p \in X \setminus A </tex> и <tex> F' </tex> {{---}} наименьшее по включению закрытое множество, содержащее <tex> F \cup p, </tex> тогда не существует <tex> F'' \in \mathcal L :\ F \subseteq F'' \subseteq F'. </tex>
 
−
|proof =
 
 
}}
 
}}
  

Версия 18:51, 15 июня 2014

Определение:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] — матроид. Тогда замыкание (англ. closure) множества [math]A \subseteq X[/math] — это множество [math]\langle A \rangle \subseteq X[/math] такое, что [math]\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}[/math]

Другими словами, замыкание множества [math] A [/math] — это все элементы из [math] A, [/math] а также такие [math] x \in X, [/math] которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам [math] A [/math] не оставляют их независимыми.


Лемма:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] — матроид, [math]A \subseteq X[/math]. Тогда [math]r(A) = r(\langle A \rangle),[/math] где [math]r[/math] — ранг.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть существуют множества [math]B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) \lt r(\langle A \rangle) = |D|.[/math] Тогда по 3-ей аксиоме [math]\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.[/math] Так как [math]B[/math] — максимальное независимое множество из [math] A [/math], то [math]p \notin A,[/math] то есть [math] p \in \langle A \rangle \setminus A. [/math] Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество [math]H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.[/math] Поскольку [math] |H| \leqslant |B| \lt |B \cup p|,[/math] то по аксиоме замены существует [math]q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.[/math]

Если [math]q \in B,[/math] то [math](H \cup q) \subseteq A,\ [/math] но [math] (H \cup q) \cup p \notin I [/math] в силу [math] H \cup p \notin I [/math] (противоречие с максимальностью множества [math]H[/math]). Если [math]q = p,[/math] то [math](H \cup p) \in I[/math] (противоречит выбору множества [math]H[/math]).
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Оператор замыкания для матроидов обладает следующими свойствами:
  1. [math]A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle[/math]
  2. [math]q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle[/math]
  3. [math]\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Положим [math]x \in \langle A \rangle.[/math] В соответствии с определением оператора замыкания есть 2 случая:
    • [math] x \in A. [/math] Тогда [math] x \in B [/math], и следовательно [math] x \in \langle B \rangle. [/math]
    • [math]\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.[/math] Для такого [math] H [/math] также верно [math]H \subseteq B,[/math] потому [math]x \in \langle B \rangle.[/math]
  2. Опять два случая:
    • [math] q \in A \cup p. [/math] Зная, что [math] q \notin \langle A \rangle, [/math] приходим к [math] q = p, [/math] чего нам более чем достаточно.
    • [math] \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. [/math]
      Заметим, что [math] p \in H [/math], иначе бы [math] H [/math] подходило для [math] q \in \langle A \rangle, [/math] поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив [math] H' = H \setminus p: [/math]
      [math] \exists H' \subseteq A:\ H' \cup p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I. [/math]
      [math] H' \cup q \in I [/math], в противном случае в силу [math] H' \in I [/math] было бы [math] q \in \langle A \rangle. [/math]
      Как видим, множество [math] H' \cup q [/math] подходит под определение [math] p \in \langle A \cup q \rangle. [/math]
  3. Из определения понятно, что [math] \langle A \rangle \subseteq \langle \langle A \rangle \rangle [/math]. Предположим [math]\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.[/math] Возьмем максимальное по мощности множество [math]B \in I :\ B \subseteq A.[/math] Так как [math]p \notin \langle A \rangle,[/math] то по определению замыкания [math]B \cup p \in I.[/math] Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды определение ранга и снова лемму, получим [math]r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \geqslant |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,[/math] что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]

Смотри также

Покрытия, закрытые множества

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Оператор_замыкания_для_матроидов&oldid=39293»