Изменения

{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}} Будем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть:

Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> — совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых это свойство <tex> P </tex> верно.

{{Определение|definition=<tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — '''множества Лебега ''' функции <tex> f </tex>.}}

<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть , принадлежат [[Полукольца и алгебры#Алгебра|сигма-алгебре]]).

Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow iff </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

... Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> <tex>\Rightarrow</tex> следует и измеримость самого <tex>E</tex> {{---}} тоже измеримо, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>

Приведём примеры измеримых функций:Пример измеримой функции — <tex>f(x) = C</tex> на измеримом <tex>E</tex>.

Поэтому, считая Так как <tex>E</tex> измеримым, получаемизмеримо, что то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}, E_p </tex>— дизъюнктны.

Аналогично , измерима на <tex>E</tex>, функция <tex>f : E \to \mathbb R </tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.

Проверим, что оно замкнуто <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.

Рассмотрим последовательность <tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, пусть она сходится к <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>, <tex>\bar x_j \to \bar x</tex>, <tex>\bar x_j \in</tex> замкнутое <tex>F</tex>. Значит, предел тоже в <tex>F</tex>. Значит, по непрерывностиПо определению множества Лебега, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)leq a</tex>.

Так как <tex> F </tex> — замкнутое, и <tex>\bar x_j \in F</tex>, то предел тоже принадлежит <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar xx_j)\leq a \Rightarrow to f(\bar x \in F(f\leq a)</tex>.

По непрерывности <tex> f </tex>, из того, что <tex> f(\bar x_j) \le a </tex>, следует <tex>f(\bar x)\leq a </tex>, то есть, <tex> \bar x \in F(f\leq a)</tex>.  Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей <tex>\Rightarrow</tex> , то есть замкнуто. Но , как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.

1) <tex>|f|</tex> {{---}} измерима измерим <br>1.5) <tex>afkf</tex> {{---}} измеримо измерима (<tex>a k \in \mathbb{R}</tex>) <br>2) <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо измерим <br>3) <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо измерима <br>

1 и 2) доказываются одинаково. НапримерРассмотрим, например, <tex>E(f^2<a)</tex>.

<tex>E(f^2<a)</tex>. При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(-\sqrt{a} < f < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < f) \cap E(f<\sqrt{a})</tex>.

Справа измеримое множество Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>. Операций счётно, операций — счётное число. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо.