Редактирование: Определение интеграла Лебега

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 +
{{В разработке}}
 +
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
  
Строка 31: Строка 33:
 
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа. [[Критерий существования определённого интеграла#Суммы Дарбу]]
+
Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа.
 
{{TODO|t=Наверно, надо добавить их сюда.}}
 
{{TODO|t=Наверно, надо добавить их сюда.}}
 
}}
 
}}
Строка 48: Строка 50:
 
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
 
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
  
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) < y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.  
+
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.  
  
 
<tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,  
 
<tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,  
<tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} e_k</tex> — дизъюнктны.  
+
<tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex> — дизъюнктны.  
  
 
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:
 
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:
Строка 86: Строка 88:
  
 
Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
 
Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_{n-1}; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.  
+
<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_n-1; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.  
  
 
Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам
 
Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам
Строка 99: Строка 101:
 
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
 
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
  
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанной выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
+
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
  
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)