Определение интеграла Лебега — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 10 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
  
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
+
Есть <tex>(X, \mathcal{A}, \mu)</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная.  
 
 
Есть <tex>\langle X, \mathcal{A}, \mu \rangle</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная.
 
 
 
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>).  
 
  
 +
Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>),
 
<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>.
 
<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>.
  
Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей.
+
Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:
  
<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение
+
<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>\exists</tex> хотя бы одно разбиение
+
|statement= Существует хотя бы одно разбиение.
|proof=Вот оно! <tex>\tau = \{E\}</tex>
+
|proof=Вот оно! <tex>\tau = \{E\}</tex>. Если что, всегда можно предъявить разбиение <tex> E = E \cup \varnothing </tex>.
 
}}
 
}}
  
Системы чисел <tex>m_p(f)  = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex> {{---}} конечны
+
Строим системы чисел <tex>m_p(f)  = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex>, они конечны.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 25: Строка 22:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если <tex>\forall e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.
+
|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если любой отрезок <tex> e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то отрезке <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement=1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>
+
|statement=
 +
1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>
 
2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 
2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 +
|proof=
 +
Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа. [[Критерий существования определённого интеграла#Суммы Дарбу]]
 +
{{TODO|t=Наверно, надо добавить их сюда.}}
 
}}
 
}}
  
На базе этой леммы вы видим: <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>.
+
Тогда, если определить <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируемая по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.
+
|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируема по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex>{{---}} измерима и ограничена на <tex>E</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. Тогда <tex>f</tex>{{---}} интегрируемая по Лебегу на <tex>E</tex>.  
+
|statement=Пусть <tex>f</tex>{{---}} измерима и ограничена на <tex>E</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. Тогда <tex>f</tex>{{---}} интегрируема по Лебегу на <tex>E</tex>.  
|proof=<tex>f</tex> {{---}} ограничена <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists M > 0 \forall x : |f(x)| < M </tex>. Разобьём <tex>[-M; M]</tex> на <tex>n</tex> равных частей.  
+
|proof=
 +
<tex>f</tex> {{---}} ограничена, значит <tex>\exists M > 0 \forall x : |f(x)| < M </tex>. Разобьём <tex>[-M; M]</tex> на <tex>n</tex> равных частей.  
  
 
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
 
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
  
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex> {{---}} это измеримое множество, так как, <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcap\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex>, все дизъюнктны.  
+
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) < y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.
 +
 
 +
<tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,  
 +
<tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} e_k</tex> дизъюнктны.  
  
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>
+
Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:
  
 
<tex>m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) > y_k</tex>, <tex>M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}</tex>
 
<tex>m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) > y_k</tex>, <tex>M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}</tex>
  
<tex>\mu e_k \geq 0</tex>. <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>
+
<tex>\mu e_k \geq 0</tex>, поэтому <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>
  
 
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E</tex>
 
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E</tex>
Строка 58: Строка 63:
 
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E</tex>
 
<tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E</tex>
  
<tex>n</tex> {{---}} произвольное, натуральное. Устремляем к бесконечности.  
+
<tex>n</tex> {{---}} произвольное, натуральное. Устремляя к бесконечности, получаем требуемое.  
 
}}
 
}}
  
Строка 67: Строка 72:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>
+
|statement=
|proof=Раз функция интегрируема по Риману, то между нижней и верхней суммами Дарбу можно вставить только одно число {{---}} интеграл Римана.  
+
<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Иначе говоря, существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>.
 +
|proof=
 +
Раз функция интегрируема по Риману, то между нижней и верхней суммами Дарбу можно вставить только одно число {{---}} интеграл Римана.  
  
Для дальнейших построений воспользуемся тем, что если если <tex>\inf</tex> берётся по пшшшш, то он не может убывать. Аналогично, <tex>\sup</tex>{{---}} возрастать.  
+
Для дальнейших построений воспользуемся тем, что если если <tex>\inf</tex> берётся по убывающей серии подмножеств, то он не может убывать. Аналогично, <tex>\sup</tex> не может возрастать.  
  
Всё это вместе: раз интеграл Римана {{---}} общее значение соответствующих граней нижней и верхних сумм Дарбу.
+
Так как интеграл Римана {{---}} общее значение соответствующих граней нижней и верхних сумм Дарбу, то:
  
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \tau = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}</tex>
+
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \tau = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}:</tex>
  
 
<tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{s^D}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau) < \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon</tex>
 
<tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{s^D}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau) < \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon</tex>
  
 
Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
 
Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_n-1; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.  
+
<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_{n-1}; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.  
  
 
Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам
 
Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам
Строка 85: Строка 92:
 
<tex>\underline{s^D}(\tau) \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau)</tex>
 
<tex>\underline{s^D}(\tau) \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau)</tex>
  
Сопоставляя это с прошлым неравенством, приходим к выводу, что <tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{L} \leq \overline{L} < \int\limits_a^b f(x)dx</tex>
+
Сопоставляя это с прошлым неравенством, приходим к выводу, что <tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{L} \leq \overline{L} < \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon</tex>
  
Здесь только одна переменная {{---}} <tex>\varepsilon</tex>. При <tex>\varepsilon \to 0</tex> победа, <tex>\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a; b]}fd\lambda</tex>
+
Здесь только одна переменная {{---}} <tex>\varepsilon</tex>. При <tex>\varepsilon \to 0</tex> победа, <tex>\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a; b]}fd\lambda</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
 
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
  
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на <tex>\mathbb{R}</tex> интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана на отрезке.
+
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанной выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
 +
 
 +
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

на главную << >>

Есть [math](X, \mathcal{A}, \mu)[/math]. Далее, мы всегда предполагаем, что [math]\mu[/math][math]\sigma[/math]-конечная и полная.

Пусть [math]E[/math] — измеримое множество ([math]E \in \mathcal{A}[/math]), [math]f : E \to \mathbb{R}[/math], [math]\forall x \in E : |f(x)| \leq M[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math].

Разобьём [math]E[/math] на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:

[math]E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p[/math] — дизъюнктные и измеримые. [math]\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}[/math] — разбиение.

Утверждение:
Существует хотя бы одно разбиение.
[math]\triangleright[/math]
Вот оно! [math]\tau = \{E\}[/math]. Если что, всегда можно предъявить разбиение [math] E = E \cup \varnothing [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Строим системы чисел [math]m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)[/math], [math]M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)[/math], они конечны.


Определение:
Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — [math]\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p[/math], [math]\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p[/math]. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.


Определение:
[math]\tau_1, \tau_2[/math] — разбиения. Если любой отрезок [math] e \in \tau_1[/math] содержится в каком-то отрезке [math]e' \in \tau_2[/math], то [math]\tau_1[/math] мельче [math]\tau_2[/math], [math]\tau_1 \leq \tau_2[/math].


Лемма:
1. [math]\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math]

2. [math]\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)[/math], [math]\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

3. [math]\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа. Критерий существования определённого интеграла#Суммы Дарбу

TODO: Наверно, надо добавить их сюда.
[math]\triangleleft[/math]

Тогда, если определить [math]\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)[/math], то из леммы следует: [math]\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)[/math].


Определение:
Если [math]\underline{L} = \overline{L}[/math], то [math]f[/math] — интегрируема по Лебегу на [math]E[/math], общее значение этих чисел — интеграл Лебега, [math]\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu[/math].


Теорема:
Пусть [math]f[/math]— измерима и ограничена на [math]E[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math]. Тогда [math]f[/math]— интегрируема по Лебегу на [math]E[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]f[/math] — ограничена, значит [math]\exists M \gt 0 \forall x : |f(x)| \lt M [/math]. Разобьём [math][-M; M][/math] на [math]n[/math] равных частей.

[math]y_k = -M + \frac{2M}nk[/math], [math]k = 0..n[/math]

[math]e_k = E(y_k \leq f(x) \lt y_{k+1})[/math]. В силу измеримости [math]f[/math], эти множества измеримы.

[math]-M \leq f(x)\leq M[/math], [math]E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} e_k[/math] — дизъюнктны.

Итак, мы получили разбиение [math]E[/math]. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:

[math]m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) \gt y_k[/math], [math]M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}[/math]

[math]\mu e_k \geq 0[/math], поэтому [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k[/math]

[math]0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E[/math]

[math]0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E[/math]

[math]n[/math] — произвольное, натуральное. Устремляя к бесконечности, получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

Замечание. На самом деле, можно доказать и обратное. Факт существования интеграла Лебега функции необходимо влечёт её измеримость.

Сравнение с интегралом Римана

Теперь сравним интеграл Римана по отрезку с интегралом Лебега по тому же самому отрезку.

Теорема:
[math]f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}[/math]. Иначе говоря, существует интеграл Лебега [math]\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Раз функция интегрируема по Риману, то между нижней и верхней суммами Дарбу можно вставить только одно число — интеграл Римана.

Для дальнейших построений воспользуемся тем, что если если [math]\inf[/math] берётся по убывающей серии подмножеств, то он не может убывать. Аналогично, [math]\sup[/math] не может возрастать.

Так как интеграл Римана — общее значение соответствующих граней нижней и верхних сумм Дарбу, то:

[math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \tau = \{a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b\}:[/math]

[math]\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon \lt \underline{s^D}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau) \lt \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon[/math]

Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества: [math]\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_{n-1}; x_n), \{x_n\}\}[/math] — разбиение отрезка [math][a;b][/math] на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.

Значит, так как [math]\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)[/math], [math]\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)[/math] и [math]\lambda \{x_n\} = 0[/math], приходим к неравенствам

[math]\underline{s^D}(\tau) \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau)[/math]

Сопоставляя это с прошлым неравенством, приходим к выводу, что [math]\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon \lt \underline{L} \leq \overline{L} \lt \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon[/math]

Здесь только одна переменная — [math]\varepsilon[/math]. При [math]\varepsilon \to 0[/math] победа, [math]\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a; b]}fd\lambda[/math].
[math]\triangleleft[/math]

С другой стороны, [math]f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)[/math]

С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. [math]\mathbb{Q}[/math]— измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, [math]f[/math]— измеримо на всей оси, а значит, и на [math][0; 1][/math]. Тогда по доказанной выше(намного выше [math]\smile[/math]) теореме, она интегрируема по Лебегу на [math][0; 1][/math]. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега — распространение интеграла Римана.

на главную << >>