Определение суммы числового ряда — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 7: Строка 7:
  
 
Для ряда должно выполняться несколько свойств:
 
Для ряда должно выполняться несколько свойств:
*Если начиная с какого-то <tex>n</tex> все <tex>a_k</tex>, <tex>k > n</tex> равны нулю, то <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum'limits_{k = 1}^n</tex>.
+
*Если начиная с какого-то <tex>n</tex> все <tex>a_k</tex>, <tex>k > n</tex> равны нулю, то <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 1}^n</tex>.
 
*Линейность ряда: <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex>.
 
*Линейность ряда: <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex>.
  
 
То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.
 
То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.
  
Классическийц способ суммирования:
+
Классический способ суммирования:
 
<tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда.
 
<tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда.
  
Строка 32: Строка 32:
 
Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:
 
Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:
  
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>.
+
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>.
  
 
Это видно из равенства <tex>S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k</tex>.
 
Это видно из равенства <tex>S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k</tex>.
Строка 39: Строка 39:
 
Заметим, что <tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} ограничено, <tex>n \to \infty</tex>.
 
Заметим, что <tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} ограничено, <tex>n \to \infty</tex>.
  
Значит, <tex>S_n</tex> и <tex>\sum\limits_{k = p+1}^n</tex> равносходятся.
+
Значит, <tex>S_n</tex> и <tex>\sum\limits_{k = p+1}^n a_k</tex> равносходятся.
  
 
Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.
 
Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.

Текущая версия на 19:36, 4 сентября 2022


Определение:
[math]\sum\limits_{k=1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + a_3 \ldots[/math] — числовой ряд


Для ряда должно выполняться несколько свойств:

  • Если начиная с какого-то [math]n[/math] все [math]a_k[/math], [math]k \gt n[/math] равны нулю, то [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 1}^n[/math].
  • Линейность ряда: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k[/math].

То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.

Классический способ суммирования: [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math] — частичные суммы ряда.


Определение:
[math]\lim\limits_{n\to\infty} S_n[/math] — сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе — расходящийся.


Сумму ряда обычно обозначают так же, как и ряд: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math].

Из арифметики предела становится ясно, что:

  • [math]S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}[/math]
  • [math]S_n \to S \Rightarrow a_n \to 0[/math]
Утверждение:
Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое
[math]\triangleright[/math]

Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:

[math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] — сходится [math]\iff[/math] [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0[/math].

Это видно из равенства [math]S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Заметим, что [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k[/math], где [math]p[/math] — ограничено, [math]n \to \infty[/math].

Значит, [math]S_n[/math] и [math]\sum\limits_{k = p+1}^n a_k[/math] равносходятся.

Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.