Определение суммы числового ряда — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
  

Текущая версия на 19:36, 4 сентября 2022


Определение:
[math]\sum\limits_{k=1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + a_3 \ldots[/math] — числовой ряд


Для ряда должно выполняться несколько свойств:

  • Если начиная с какого-то [math]n[/math] все [math]a_k[/math], [math]k \gt n[/math] равны нулю, то [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 1}^n[/math].
  • Линейность ряда: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k[/math].

То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.

Классический способ суммирования: [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math] — частичные суммы ряда.


Определение:
[math]\lim\limits_{n\to\infty} S_n[/math] — сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе — расходящийся.


Сумму ряда обычно обозначают так же, как и ряд: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math].

Из арифметики предела становится ясно, что:

  • [math]S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}[/math]
  • [math]S_n \to S \Rightarrow a_n \to 0[/math]
Утверждение:
Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое
[math]\triangleright[/math]

Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:

[math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] — сходится [math]\iff[/math] [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0[/math].

Это видно из равенства [math]S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Заметим, что [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k[/math], где [math]p[/math] — ограничено, [math]n \to \infty[/math].

Значит, [math]S_n[/math] и [math]\sum\limits_{k = p+1}^n a_k[/math] равносходятся.

Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.