|
|
| (не показано 12 промежуточных версий 2 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Базовые определения ==
| + | #перенаправление [[Основные определения, связанные со строками]] |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] элементов, называемых '''символами''' (англ. ''symbols''). Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Наиболее часто используются следующие алфавиты:
| |
| − | # <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит. | |
| − | # <tex>\Sigma=\{a, b, ...,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Пустая цепочка''' {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Длина цепочки''' {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | <tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | <tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> — множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |id = deflanguage
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |id = defconcat
| |
| − | |definition =
| |
| − | Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex> x \cdot y </tex> или <tex> xy </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> x </tex> и <tex> y </tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Множество строк с операцией ''конкатенации'' образует [[Моноид|свободный моноид]].
| |
| − | | |
| − | == Операции над языками ==
| |
| − | Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
| |
| − | #Теоретико-множественные операции:
| |
| − | #* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
| |
| − | #* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
| |
| − | #* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
| |
| − | #* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
| |
| − | #Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
| |
| − | #Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
| |
| − | #Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
| |
| − | \{\varepsilon\}, k = 0\\
| |
| − | LL^{k-1}, k > 0.
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </tex>
| |
| − | #Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
| |
| − | | |
| − | === Примеры ===
| |
| − | * <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
| |
| − | * <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
| |
| − | * <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
| |
| − | * Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
| |
| − | * <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
| |
| − | | |
| − | === Гомоморфизм языков ===
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition='''Гомоморфизмом языков''' <tex> \langle L_1, \cdot \rangle </tex> и <tex> \langle L_2, \cdot \rangle </tex> называется отображение <tex>\Phi \colon L_1 \to L_2</tex> такое, что
| |
| − | <tex> \Phi(L_1) = \{\varphi(x) | x \in L_1 \} = L_2 </tex>, где <tex> \varphi \colon \Sigma^{*}_{1} \to \Sigma^{*}_{2} </tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | Таким образом отображение гомоморфизма сохраняется относительно операции конкатенации, а именно <tex> \varphi(\alpha \beta) = \varphi(\alpha)\varphi(\beta)</tex>
| |
| − | | |
| − | == Ссылки ==
| |
| − | * [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]
| |
| − | * [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]
| |
| − | * [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]
| |
| − | * [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]
| |
| − | * [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]
| |
| − | * [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]
| |
| − | * ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45.
| |
| − | | |
| − | [[Категория: Теория формальных языков]]
| |
| − | [[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
| |
