|
|
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Базовые определения ==
| + | #перенаправление [[Основные определения, связанные со строками]] |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] элементов, называемых '''символами''' (англ. ''symbols''). Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Наиболее часто используются следующие алфавиты:
| |
| − | # <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
| |
| − | # <tex>\Sigma=\{a, b, ...,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита. | |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Длина цепочки''' (англ. ''string length'') {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | <tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition =
| |
| − | <tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> — множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |id = deflanguage
| |
| − | |definition =
| |
| − | '''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |id = defconcat
| |
| − | |definition =
| |
| − | Пусть <tex>x, y \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex> x \cdot y </tex> или <tex> xy </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> x </tex> и <tex> y </tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Множество строк с операцией ''конкатенации'' образует [[Моноид|свободный моноид]].
| |
| − | | |
| − | == Операции над языками ==
| |
| − | Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
| |
| − | #Теоретико-множественные операции:
| |
| − | #* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
| |
| − | #* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
| |
| − | #* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
| |
| − | #* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
| |
| − | # Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
| |
| − | # Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
| |
| − | # Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
| |
| − | \{\varepsilon\}, k = 0\\
| |
| − | LL^{k-1}, k > 0.
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </tex>
| |
| − | # Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
| |
| − | # [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]
| |
| − | | |
| − | === Примеры ===
| |
| − | * <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
| |
| − | * <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
| |
| − | * <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
| |
| − | * Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
| |
| − | * <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
| |
| − | | |
| − | == Гомоморфизм языков ==
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Пусть даны два алфавита <tex>\Sigma_1, \Sigma_2</tex>. '''Гомоморфизмом''' называется такое отображение <tex> \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, что:
| |
| − | * <tex>\varphi(\varepsilon) = \varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку
| |
| − | * <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)</tex>, то есть сохраняет конкатенацию
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>. <br>
| |
| − | Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Прообразом языка''' <tex>M \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. <br>
| |
| − | Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | === Примеры ===
| |
| − | | |
| − | * тривиальные гомоморфизмы
| |
| − | ** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>
| |
| − | ** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>
| |
| − | * '''гомоморфизм цепочек''': <tex> \varphi: \Sigma_1 \to \Sigma_2^* </tex>, действует от каждого символа строки из языка, то есть <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = \varphi(c_1)\varphi(c_2) ... \varphi(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек
| |
| − | * ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex>
| |
| − | * циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.
| |
| − | | |
| − | == Ссылки ==
| |
| − | * [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]
| |
| − | * [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]
| |
| − | * [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]
| |
| − | * [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]
| |
| − | * [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]
| |
| − | * [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]
| |
| − | * ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45.
| |
| − | | |
| − | [[Категория: Теория формальных языков]]
| |
| − | [[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
| |
