Основные определения теории графов

Материал из Викиконспекты
Версия от 05:14, 28 октября 2010; Vladimir.nesmelov (обсуждение | вклад) (корректировка формул)
Перейти к: навигация, поиск

Граф

Определение:
Графом [math]G[/math] называется пара [math]G = (V, E);[/math] где V - конечное множество вершин, а [math] E \subset V \times V [/math] - множество рёбер.

В неориентированном графе [math](v, u) = (u, v)[/math].

Ребро

Для неориентированного графа

Определение:
Ребром называют неупорядоченную пару вершин [math] (v, u) \in E [/math].

Для ориентированного графа

Определение:
Ребром называют упорядоченную пару вершин [math] (v, u) \in E [/math].


Степень вершины

Для неориентированного графа

Определение:
Степенью вершины vi называется число рёбер инцидентных [math]v_i[/math], и обозначается deg [math]v_i[/math]

Говорят, что ребро [math] e = (u, v) [/math] инцидентно вершине a, если [math]u = a[/math] или [math]v = a[/math].

Для ориентированного графа

Определение:
Полустепенью входа вершины vi называется число рёбер, входящих в эту вершину, и обозначается [math]deg^+[/math] [math]v_i[/math].


Определение:
Полустепенью выхода вершины [math]v_i[/math] называется число рёбер, выходящих из этой вершину, и обозначается [math]deg^-[/math] vi.


Петля

Определение:
Петлёй в ориентированном графе называется ребро, концы которого совпадают, то есть [math]e=\{v,v\}[/math].

По умолчанию петли в неориентированном графе запрещены.

Путь

Определение:
Путём в графе называется последовательность вида [math]v_0 e_1 v_1 ... e_k v_k[/math]; где [math]e_i = (v_{i-1}; v_i)[/math].


Цикл

Для ориентированного графа

Определение:
Циклом называется путь у которого [math]v_0 = v_k; k \gt 0[/math], а так же [math]v_0 e_1 v_1 ... e_k v_k \sim u_0 f_1 u_1 ... f_k u_k[/math]; где [math]u_i = v_{(i+j) \pmod k}; f_i = e_{(i+j) \pmod k}; i = 1..k[/math]


Для неориентированного графа

Определение:
Циклом называется путь в котором нет двух одинаковых рёбер подряд, а также начало и конец которого совпадают, то есть [math]v_0 = v_k[/math]