Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 17: Строка 17:
 
''Доказательство:'' Пусть <math>P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v</math> и  <math>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w</math> - реберно непересекащиеся пути.
 
''Доказательство:'' Пусть <math>P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v</math> и  <math>Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w</math> - реберно непересекащиеся пути.
 
Выберем вершины <math>x_1</math> и <math>x_2</math> так, что <math>P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x1),</math> <math>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x2)</math> и <math>(v \rightsquigarrow x1) \and (v \rightsquigarrow x2) = v.</math>
 
Выберем вершины <math>x_1</math> и <math>x_2</math> так, что <math>P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x1),</math> <math>P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x2)</math> и <math>(v \rightsquigarrow x1) \and (v \rightsquigarrow x2) = v.</math>
 +
 
Получим два реберно непересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x1) \or (x1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x2) \or (x2 \rightsquigarrow w). </math>
 
Получим два реберно непересекающихся пути <math>R_1 = (u \rightsquigarrow x1) \or (x1 \rightsquigarrow w) </math> и <math>R_2 = (u \rightsquigarrow x2) \or (x2 \rightsquigarrow w). </math>
Действительно, если <math>R_1 \and R_2 =</math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>u</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности.
+
Действительно, <math> (u \rightsquigarrow x1) \and (u \rightsquigarrow x2) = u</math>(реберная двусвязность <math>u</math> и <math>v</math>). <math> (x1 \rightsquigarrow w) \and (x2 \rightsquigarrow w) = w</math>(реберная двусвязность <math>v</math> и <math>w</math>)
 +
Если <math>(u \rightsquigarrow x1) \and (x2 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь} или <math>(u \rightsquigarrow x2) \and (x1 \rightsquigarrow w)= </math> {какой-то путь}, то тогда вершины <math>v</math> и <math> w</math> не связаны отношением реберной двусвязности.
 
}}
 
}}

Версия 22:03, 1 октября 2010

Реберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]U[/math] и [math] V[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.


Теорема:
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности. Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Коммутативность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math] Доказательство: Пусть [math]P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v[/math] и [math]Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w[/math] - реберно непересекащиеся пути. Выберем вершины [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] так, что [math]P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x1),[/math] [math]P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x2)[/math] и [math](v \rightsquigarrow x1) \and (v \rightsquigarrow x2) = v.[/math]

Получим два реберно непересекающихся пути [math]R_1 = (u \rightsquigarrow x1) \or (x1 \rightsquigarrow w) [/math] и [math]R_2 = (u \rightsquigarrow x2) \or (x2 \rightsquigarrow w). [/math] Действительно, [math] (u \rightsquigarrow x1) \and (u \rightsquigarrow x2) = u[/math](реберная двусвязность [math]u[/math] и [math]v[/math]). [math] (x1 \rightsquigarrow w) \and (x2 \rightsquigarrow w) = w[/math](реберная двусвязность [math]v[/math] и [math]w[/math])

Если [math](u \rightsquigarrow x1) \and (x2 \rightsquigarrow w)= [/math] {какой-то путь} или [math](u \rightsquigarrow x2) \and (x1 \rightsquigarrow w)= [/math] {какой-то путь}, то тогда вершины [math]v[/math] и [math] w[/math] не связаны отношением реберной двусвязности.
[math]\triangleleft[/math]