Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Реберная двусвязность)
Строка 20: Строка 20:
  
 
''Доказательство:''
 
''Доказательство:''
Пусть из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> есть два реберно непересекающихся путей,  <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> соответственно.  Обозначим за <tex> C </tex> объединение двух реберно непересекающихся пути из  <tex> u </tex> в <tex> v </tex>.  
+
Пусть из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> есть два реберно непересекающихся пути,  <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> соответственно.  Обозначим за <tex> C </tex> объединение двух реберно непересекающихся путей из  <tex> u </tex> в <tex> v </tex>.  
 
<tex> C </tex> будет реберно-простым циклом.
 
<tex> C </tex> будет реберно-простым циклом.
 
Пусть  вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>w</tex> вершины на пересечении <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> с <tex> C </tex> соответственно.
 
Пусть  вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>w</tex> вершины на пересечении <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> с <tex> C </tex> соответственно.
Рассматриваем два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex> таких, что части <tex> au </tex> и <tex> bu </tex> идут в разные стороны.Наличие двух таких реберно непересекающихся путей очевидно, а значит  <tex> u </tex> и  <tex> w </tex> реберно двусвязны.
+
Рассмотрим два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex>, такие, что части <tex> au </tex> и <tex> bu </tex> идут в разные стороны по циклу <tex> C </tex>. Наличие двух таких реберно непересекающихся путей очевидно, а значит  <tex> u </tex> и  <tex> w </tex> реберно двусвязны.
  
  

Версия 17:43, 23 февраля 2012

Реберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.


Теорема:
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]R[/math] — отношение реберной двусвязности.
Rconrcon.jpg

Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math]

Доказательство: Пусть из [math] w [/math] в [math] v [/math] есть два реберно непересекающихся пути, [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] соответственно. Обозначим за [math] C [/math] объединение двух реберно непересекающихся путей из [math] u [/math] в [math] v [/math]. [math] C [/math] будет реберно-простым циклом. Пусть вершины [math]a[/math] и [math]b[/math] — первые со стороны [math]w[/math] вершины на пересечении [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] с [math] C [/math] соответственно.

Рассмотрим два пути [math] wau [/math] и [math] wbu [/math], такие, что части [math] au [/math] и [math] bu [/math] идут в разные стороны по циклу [math] C [/math]. Наличие двух таких реберно непересекающихся путей очевидно, а значит [math] u [/math] и [math] w [/math] реберно двусвязны.
[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:
Компонентами реберной двусвязности графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.


См. также

Литература

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6