Отношение связности, компоненты связности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Снова ошибся в предыдущей правке)
 
(не показано 30 промежуточных версий 11 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Две вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> называются '''связными''', если в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов|путь]] из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> (обозначение: <tex>u \rightsquigarrow v </tex>).}}
+
Две вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> называются '''связаными''' ''(англ. adjacent)'', если в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов|путь]] из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> (обозначение: <tex>u \rightsquigarrow v </tex>).}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Связность - '''отношение эквивалентности'''.
+
Связность {{---}} '''[[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]]''' ''(англ. equivalence relation)''.
 
|proof=
 
|proof=
'''Рефлексивность''': <tex>\forall a \in V a \rightsquigarrow a</tex> (очевидно).
+
'''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]''': <tex>\forall a \in V a \rightsquigarrow a</tex> (очевидно).
  
'''Симметричность''': <tex>a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a</tex> (в силу неориентированности графа).
+
'''[[Симметричное_отношение|Симметричность]]''': <tex>a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a</tex> (в силу неориентированности графа).
  
'''Транзитивность''': <tex>a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c</tex>. Действительно, сначала пройдем от <tex>a</tex> до <tex>b</tex>, затем от <tex>b</tex> до <tex>c</tex>, что и означает существования пути  <tex>a \rightsquigarrow b</tex>.
+
'''[[Транзитивное_отношение|Транзитивность]]''': <tex>a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c</tex>. Действительно, сначала пройдем от <tex>a</tex> до <tex>b</tex>, затем от <tex>b</tex> до <tex>c</tex>, что и означает существования пути  <tex>a \rightsquigarrow c</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = def2
 
|definition=
 
|definition=
'''Компонентой связности''' называется класс эквивалентности относительно связности.}}
+
'''Компонентой связности''' ''(англ. connected component)'' называется класс эквивалентности относительно связности.}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = connected_graph
 
|definition=
 
|definition=
Граф <tex>G=(V, E)</tex> называется '''связным''', если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется '''несвязным'''.}}
+
Граф <tex>G=(V, E)</tex> называется '''связным''' ''(англ. connectivity graph)'', если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется '''несвязным'''.}}
  
 
== Случай ориентированного графа ==
 
== Случай ориентированного графа ==
Строка 29: Строка 31:
 
<wikitex>{{Определение
 
<wikitex>{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Отношение $R(v, u)$ называется отношением '''слабой связности''', если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением с ребер ориентации.
+
Отношение $R(v, u)$ называется отношением '''слабой связности''' ''(англ. weak connectivity)'', если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением ориентации с рёбер.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Слабая связность '''является отношением эквивалентности'''.
+
Слабая связность '''является [[Отношение_эквивалентности|отношением эквивалентности]]'''.
 
|proof=
 
|proof=
 
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
 
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
 
}}
 
}}
[[Файл:components1.png|100px|thumb|left|Слабосвязный граф. Компоненты слабой связности выделены красным.]]
+
[[Файл:components1.png|400px|thumb|left|Пример ориентированного графа с тремя компонентами слабой связности.]]
 
<br clear="all" />
 
<br clear="all" />
 
</wikitex>
 
</wikitex>
Строка 46: Строка 48:
 
|id=sc_def
 
|id=sc_def
 
|definition=
 
|definition=
Отношение <tex>R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land  u \rightsquigarrow v</tex> на вершинах графа называется отношением '''сильной связности'''.
+
Отношение <tex>R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land  u \rightsquigarrow v</tex> на вершинах графа называется отношением '''сильной связности''' ''(англ. strong connectivity)''.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Сильная связность - '''отношение эквивалентности'''.
+
Сильная связность {{---}} '''[[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]]'''.
 
|proof=
 
|proof=
'''Рефлексивность''' и '''симметричность''' очевидны. Рассмотрим '''транзитивность''':  
+
'''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]''' и '''[[Симметричное_отношение|симметричность]]''' очевидны. Рассмотрим '''[[Транзитивное_отношение|транзитивность]]''':  
 
<tex>(a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land  (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a</tex>
 
<tex>(a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land  (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a</tex>
 
}}
 
}}
Строка 59: Строка 61:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — ориентированный граф. '''Компонентой сильной связности''' называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.}}
+
Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — [[Основные_определения_теории_графов|ориентированный граф]]. '''Компонентой сильной связности''' ''(англ. strongly connected component)'' называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.}}
 +
[[Файл:Components2.png|400px|thumb|left|Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности.]]
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Ориентированный граф <tex>G = (V, E)</tex> называется '''сильно связным''', если он состоит из одной компоненты сильной связности.}}
+
[[Основные_определения_теории_графов|Ориентированный граф]] <tex>G = (V, E)</tex> называется '''сильно связным''' ''(англ. strongly connected)'', если он состоит из одной компоненты сильной связности.}}
  
[[Файл:Components2.png|100px|слева|frame|Сильносвязный граф. Компоненты сильной связности выделены красным.]]
 
 
<br clear="all" />
 
<br clear="all" />
  
==Источники==
+
==См. также==
 +
 
 +
*[[Отношение рёберной двусвязности]]
 +
*[[Отношение вершинной двусвязности]]
 +
 
 +
==Источники информации==
 
* [http://xn--90abr5b.xn--p1ai/wiki/doku.php?id=examination:diskretka:question12 Отношения связности для вершин неорграфа на ivtb.ru]
 
* [http://xn--90abr5b.xn--p1ai/wiki/doku.php?id=examination:diskretka:question12 Отношения связности для вершин неорграфа на ivtb.ru]
 
* Харари Фрэнк '''Теория графов''': Пер. с англ./ Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-397-00622-4.
 
* Харари Фрэнк '''Теория графов''': Пер. с англ./ Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-397-00622-4.

Текущая версия на 16:11, 1 февраля 2017

Случай неориентированного графа[править]

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] называются связаными (англ. adjacent), если в графе [math]G[/math] существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math] (обозначение: [math]u \rightsquigarrow v [/math]).


Теорема:
Связность — отношение эквивалентности (англ. equivalence relation).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность: [math]\forall a \in V a \rightsquigarrow a[/math] (очевидно).

Симметричность: [math]a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a[/math] (в силу неориентированности графа).

Транзитивность: [math]a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c[/math]. Действительно, сначала пройдем от [math]a[/math] до [math]b[/math], затем от [math]b[/math] до [math]c[/math], что и означает существования пути [math]a \rightsquigarrow c[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Компонентой связности (англ. connected component) называется класс эквивалентности относительно связности.


Определение:
Граф [math]G=(V, E)[/math] называется связным (англ. connectivity graph), если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным.


Случай ориентированного графа[править]

В общем случае для ориентированного графа существование пути — не симметричное отношение, поэтому вместо понятия связности различают понятие слабой и сильной связности.

Слабая связность[править]

<wikitex>

Определение:
Отношение $R(v, u)$ называется отношением слабой связности (англ. weak connectivity), если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением ориентации с рёбер.


Теорема:
Слабая связность является отношением эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
[math]\triangleleft[/math]
Пример ориентированного графа с тремя компонентами слабой связности.


</wikitex>

Сильная связность[править]

Определение:
Отношение [math]R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land u \rightsquigarrow v[/math] на вершинах графа называется отношением сильной связности (англ. strong connectivity).


Теорема:
Сильная связность — отношение эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность и симметричность очевидны. Рассмотрим транзитивность:

[math](a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math]ориентированный граф. Компонентой сильной связности (англ. strongly connected component) называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.
Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности.
Определение:
Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется сильно связным (англ. strongly connected), если он состоит из одной компоненты сильной связности.



См. также[править]

Источники информации[править]