Отношение связности, компоненты связности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(очепятка)
(Снова ошибся в предыдущей правке)
(не показано 69 промежуточных версий 16 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Случай неориентированного графа ==
 
== Случай неориентированного графа ==
=== Связность ===
+
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Компоненты связности''' неориентированного графа <math>G=(V, E)</math> — такие множества <math>C_i</math> что <math>C_i \subset V</math> и между любыми вершинами из одного множества существует путь, а между любыми вершинами из разных множеств не существует пути}}
+
Две вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> называются '''связаными''' ''(англ. adjacent)'', если в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов|путь]] из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> (обозначение: <tex>u \rightsquigarrow v </tex>).}}
 +
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Для неориентированного графа <math>G=(V, E)</math> cемейство множеств <math>C_i</math> удовлетворяющих определению единственно и образует разбиение множества <math>V</math>
+
Связность {{---}} '''[[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]]''' ''(англ. equivalence relation)''.
 
|proof=
 
|proof=
Докажем что отношение существования пути, заданное на множестве вершин графа, разбивает множество <math>V</math> на '''классы эквивалентности''' <br>
+
'''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]''': <tex>\forall a \in V a \rightsquigarrow a</tex> (очевидно).
'''Рефлексивность''': <math>\forall a \in V a \rightsquigarrow a</math> (Очевидно) <br>
+
 
'''Коммутативность''': <math>a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a</math> (В силу неориентированности графа)
+
'''[[Симметричное_отношение|Симметричность]]''': <tex>a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a</tex> (в силу неориентированности графа).
'''Транзитивность''': <math>a\rightsquigarrow b \and b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c</math> (Очевидно)
+
 
 +
'''[[Транзитивное_отношение|Транзитивность]]''': <tex>a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c</tex>. Действительно, сначала пройдем от <tex>a</tex> до <tex>b</tex>, затем от <tex>b</tex> до <tex>c</tex>, что и означает существования пути  <tex>a \rightsquigarrow c</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|id = def2
 +
|definition=
 +
'''Компонентой связности''' ''(англ. connected component)'' называется класс эквивалентности относительно связности.}}
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = connected_graph
 
|definition=
 
|definition=
Граф <math>G=(V, E)</math> называется '''связным''' если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется '''несвязным'''}}
+
Граф <tex>G=(V, E)</tex> называется '''связным''' ''(англ. connectivity graph)'', если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется '''несвязным'''.}}
  
 
== Случай ориентированного графа ==
 
== Случай ориентированного графа ==
В общем случае для ориентированного графа существование пути — нетранзитивное отношение, поэтому вместо понятия связность различают понятие слабой и сильной связности
+
В общем случае для ориентированного графа существование пути — не симметричное отношение, поэтому вместо понятия связности различают понятие слабой и сильной связности.
 
=== Слабая связность ===
 
=== Слабая связность ===
 +
<wikitex>{{Определение
 +
|definition=
 +
Отношение $R(v, u)$ называется отношением '''слабой связности''' ''(англ. weak connectivity)'', если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением ориентации с рёбер.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Слабая связность '''является [[Отношение_эквивалентности|отношением эквивалентности]]'''.
 +
|proof=
 +
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
 +
}}
 +
[[Файл:components1.png|400px|thumb|left|Пример ориентированного графа с тремя компонентами слабой связности.]]
 +
<br clear="all" />
 +
</wikitex>
  
 +
=== Сильная связность ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=sc_def
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <math>G = (V, E)</math> — ориентированный граф. Рассмотрим граф <math>G' = (V, E')</math>, составленный из вершин графа <math>G</math>, в котором ребро <math>(x, y)</math> существует тогда и только тогда когда <math>(x, y) \in E \or (y, x) \in E</math> Скажем что между вершинами <math>v \in G</math> и <math>u \in G</math> существет '''неориентированный путь''' если <math>v</math> и <math>u</math> связаны путем в <math>G'</math> }}
+
Отношение <tex>R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land  u \rightsquigarrow v</tex> на вершинах графа называется отношением '''сильной связности''' ''(англ. strong connectivity)''.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Сильная связность {{---}} '''[[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]]'''.
 +
|proof=
 +
'''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]''' и '''[[Симметричное_отношение|симметричность]]''' очевидны. Рассмотрим '''[[Транзитивное_отношение|транзитивность]]''':
 +
<tex>(a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land  (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a</tex>
 +
}}
 +
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <math>G = (V, E)</math> — ориентированный граф. '''Компонента слабой связности''' - класс эквивалентности вершин графа <math>C_i</math>, на которые разбивает множество <math>V</math> отношение существования неориентированного пути}}
+
Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — [[Основные_определения_теории_графов|ориентированный граф]]. '''Компонентой сильной связности''' ''(англ. strongly connected component)'' называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.}}
 +
[[Файл:Components2.png|400px|thumb|left|Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности.]]
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Ориентированный граф <math>G = (V, E)</math> называется '''слабо связным''' если он состоит из одной компоненты слабой связности }}
+
[[Основные_определения_теории_графов|Ориентированный граф]] <tex>G = (V, E)</tex> называется '''сильно связным''' ''(англ. strongly connected)'', если он состоит из одной компоненты сильной связности.}}
 +
 
 +
<br clear="all" />
 +
 
 +
==См. также==
 +
 
 +
*[[Отношение рёберной двусвязности]]
 +
*[[Отношение вершинной двусвязности]]
 +
 
 +
==Источники информации==
 +
* [http://xn--90abr5b.xn--p1ai/wiki/doku.php?id=examination:diskretka:question12 Отношения связности для вершин неорграфа на ivtb.ru]
 +
* Харари Фрэнк '''Теория графов''': Пер. с англ./ Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-397-00622-4.
  
=== Сильная связность ===
+
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
Пусть <math>G=(V, E) </math> — ориентированный граф. Введем отношение на вершинах графа: <math>R(v, u) = v \rightsquigarrow u \and  u \rightsquigarrow v</math>. Очевидно, <math>R</math> рефлексивно, коммутативно, транзитивно.
+
[[Категория:Связность в графах]]
{{Определение
 
|definition=
 
Пусть <math>G = (V, E)</math> — ориентированный граф. '''Компонента сильной связности''' - класс эквивалентности вершин графа <math>C_i</math>, на которые разбивает множество <math>V</math> отношение существования пути между вершинами в обе стороны}}
 
{{Определение
 
|definition=
 
Ориентированный граф <math>G = (V, E)</math> называется '''сильно связным''' если он состоит из одной компоненты сильной связности}}
 

Версия 16:11, 1 февраля 2017

Случай неориентированного графа

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] называются связаными (англ. adjacent), если в графе [math]G[/math] существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math] (обозначение: [math]u \rightsquigarrow v [/math]).


Теорема:
Связность — отношение эквивалентности (англ. equivalence relation).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность: [math]\forall a \in V a \rightsquigarrow a[/math] (очевидно).

Симметричность: [math]a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a[/math] (в силу неориентированности графа).

Транзитивность: [math]a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c[/math]. Действительно, сначала пройдем от [math]a[/math] до [math]b[/math], затем от [math]b[/math] до [math]c[/math], что и означает существования пути [math]a \rightsquigarrow c[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Компонентой связности (англ. connected component) называется класс эквивалентности относительно связности.


Определение:
Граф [math]G=(V, E)[/math] называется связным (англ. connectivity graph), если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным.


Случай ориентированного графа

В общем случае для ориентированного графа существование пути — не симметричное отношение, поэтому вместо понятия связности различают понятие слабой и сильной связности.

Слабая связность

<wikitex>

Определение:
Отношение $R(v, u)$ называется отношением слабой связности (англ. weak connectivity), если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением ориентации с рёбер.


Теорема:
Слабая связность является отношением эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
[math]\triangleleft[/math]
Пример ориентированного графа с тремя компонентами слабой связности.


</wikitex>

Сильная связность

Определение:
Отношение [math]R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land u \rightsquigarrow v[/math] на вершинах графа называется отношением сильной связности (англ. strong connectivity).


Теорема:
Сильная связность — отношение эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность и симметричность очевидны. Рассмотрим транзитивность:

[math](a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math]ориентированный граф. Компонентой сильной связности (англ. strongly connected component) называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.
Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности.
Определение:
Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется сильно связным (англ. strongly connected), если он состоит из одной компоненты сильной связности.



См. также

Источники информации