Отношение связности, компоненты связности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Ошибся в предыдущей правке)
(Снова ошибся в предыдущей правке)
 
Строка 6: Строка 6:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Связность {{---}} '''[[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]]''' ''(англ. equivalence relation)''.
+
|statement=
 +
Связность {{---}} '''[[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]]''' ''(англ. equivalence relation)''.
 
|proof=
 
|proof=
 
'''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]''': <tex>\forall a \in V a \rightsquigarrow a</tex> (очевидно).
 
'''[[Рефлексивное_отношение|Рефлексивность]]''': <tex>\forall a \in V a \rightsquigarrow a</tex> (очевидно).

Текущая версия на 16:11, 1 февраля 2017

Случай неориентированного графа[править]

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] называются связаными (англ. adjacent), если в графе [math]G[/math] существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math] (обозначение: [math]u \rightsquigarrow v [/math]).


Теорема:
Связность — отношение эквивалентности (англ. equivalence relation).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность: [math]\forall a \in V a \rightsquigarrow a[/math] (очевидно).

Симметричность: [math]a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a[/math] (в силу неориентированности графа).

Транзитивность: [math]a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c[/math]. Действительно, сначала пройдем от [math]a[/math] до [math]b[/math], затем от [math]b[/math] до [math]c[/math], что и означает существования пути [math]a \rightsquigarrow c[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Компонентой связности (англ. connected component) называется класс эквивалентности относительно связности.


Определение:
Граф [math]G=(V, E)[/math] называется связным (англ. connectivity graph), если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным.


Случай ориентированного графа[править]

В общем случае для ориентированного графа существование пути — не симметричное отношение, поэтому вместо понятия связности различают понятие слабой и сильной связности.

Слабая связность[править]

<wikitex>

Определение:
Отношение $R(v, u)$ называется отношением слабой связности (англ. weak connectivity), если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением ориентации с рёбер.


Теорема:
Слабая связность является отношением эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
[math]\triangleleft[/math]
Пример ориентированного графа с тремя компонентами слабой связности.


</wikitex>

Сильная связность[править]

Определение:
Отношение [math]R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land u \rightsquigarrow v[/math] на вершинах графа называется отношением сильной связности (англ. strong connectivity).


Теорема:
Сильная связность — отношение эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность и симметричность очевидны. Рассмотрим транзитивность:

[math](a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math]ориентированный граф. Компонентой сильной связности (англ. strongly connected component) называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.
Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности.
Определение:
Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется сильно связным (англ. strongly connected), если он состоит из одной компоненты сильной связности.



См. также[править]

Источники информации[править]