Редактирование: Оценка качества в задачах классификации

= Общие понятия =
* '''TP''' — true positive: классификатор верно отнёс объект к рассматриваемому классу.
* '''TN''' — true negative: классификатор верно утверждает, что объект не принадлежит к рассматриваемому классу.
* '''FP''' — false positive: классификатор неверно отнёс объект к рассматриваемому классу.
* '''FN''' — false negative: классификатор неверно утверждает, что объект не принадлежит к рассматриваемому классу.

Здесь про TP, TN, FP, FN и понятия, через них выражающиеся, мы говорим в рамках одного класса бинарной классификации. То есть, в такой системе подразумевается, что реальное число объектов класса 0 (для бинарного случая 0/1) может выражаться как <math>\text{TP₀ + FN₀ = FP₁ + TN₁}</math>

'''Confusion matrix''' ('''матрица ошибок / несоответствий / потерь, CM''')
[[Файл:F_scores_сomputing.png|thumb|right|150px|Вычисление TP, FP, FN по CM]]
— квадратная матрица размера n × n, где <tex>\text{CM}_{t,c}</tex> — число объектов класса <math>t</math>,
которые были квалифицированны как класс <math>c</math>, а <math>n</math> — число классов. Значения ячеек CM могут быть вычислены по формуле:
<tex>\text{CM}(y, \hat{y})_{t,c} =
\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}[(y_i = t) ∧ (\hat{y_i} = c)]</tex>, где <tex>y_i</tex> — реальный класс объекта, а <tex>\hat{y_i}</tex> — предсказанный.

Для бинарного случая:
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
| 
! Принадлежит классу (P)
! Не принадлежит классу (N)
|-
! Предсказана принадлежность классу
| style="color: #22aa22;" | TP
| style="color: #aa2222;" | FP
|-
! Предсказано отсутствие принадлежности к классу
| style="color: #aa2222;" | FN
| style="color: #22aa22;" | TN
|}

Для многоклассовой классификации матрица несоответствий строится по тому же принципу:
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
| Предсказанный класс
! Класс 1 (C₁)
! Класс 2 (C₂)
! Класс 3 (C₃)
|-
! 1 (P₁)
| style="color: #22aa22;" | T₁
| style="color: #aa2222;" | F₁₂
| style="color: #aa2222;" | F₁₃
|-
! 2 (P₂)
| style="color: #aa2222;" | F₂₁
| style="color: #22aa22;" | T₂
| style="color: #aa2222;" | F₂₃
|-
! 3 (P₃)
| style="color: #aa2222;" | F₃₁
| style="color: #aa2222;" | F₃₂
| style="color: #22aa22;" | T₃
|}
В этом случае TP, TN, FP и FN считаются относительно некоторого класса <math>(i)</math> следующим образом:
: <tex>\text{TP}_i = T_i</tex>
: <tex>\text{FP}_i = \sum\limits_{c \in \text{Classes}} \text{F}_{i,c}</tex>
: <tex>\text{FN}_i = \sum\limits_{c \in \text{Classes}} \text{F}_{c,i}</tex>
: <tex>\text{TN}_i = \text{All - TP}_i - \text{FP}_i - \text{FN}_i</tex>

= Простые оценки =
* '''Accuracy''' — (точность) показывает долю правильных классификаций. Несмотря на очевидность и простоту, является одной из самых малоинформативных оценок классификаторов.
: <tex>\text{Acc} = \dfrac{\text{TP + TN}}{\text{TP + TN + FP + FN}}</tex>
* '''Recall''' — (полнота, '''sensitivity''', '''TPR''' (true positive rate)) показывает отношение верно классифицированных объектов класса к общему числу элементов этого класса.
: <tex>\text{Recall} = \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FN}}</tex>
* '''Precision''' — (точность, перевод совпадает с accuracy)показывает долю верно классифицированных объектов среди всех объектов, которые к этому классу отнес классификатор.
: <tex>\text{Precision} = \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FP}}</tex>
* '''Specificity''' — показывает отношение верных срабатываний классификатора к общему числу объектов за пределами класса. Иначе говоря, то, насколько часто классификатор правильно '''не''' относит объекты к классу.
: <tex>\text{Specificity} = \dfrac{\text{TN}}{\text{FP + TN}}</tex>
* '''Fall-out''' — ('''FPR''' (false positive rate)) показывает долю неверных срабатываний классификатора к общему числу объектов за пределами класса. Иначе говоря то, насколько часто классификатор ошибается при отнесении того или иного объекта к классу.
: <tex>\text{FPR} = \dfrac{\text{FP}}{\text{FP + TN}}</tex>

Ввиду того, что такие оценки никак не учитывают изначальное распределение классов в выборке (что может существенно влиять на полученное значение), также существуют взвешенные варианты этих оценок (в терминах многоклассовой классификации):
* '''Precision'''
: <tex>\text{Precision}_W = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{n} \dfrac{T_i P_i}{C_i}}{\text{All}}</tex>
* '''Recall'''
: <tex>\text{Recall}_W = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{n} T_i}{\text{All}}</tex>

= Различные виды агрегации Precision и Recall =

''Примеры и картинки взяты из лекций курса «Введение в машинное обучение»<ref>https://web.archive.org/web/20220226120201/https://www.coursera.org/learn/vvedenie-mashinnoe-obuchenie</ref> К.В. Воронцова''

'''Арифметическое среднее:'''
[[Файл:EX1.png|thumb|145px|Линии уровня для среднего арифметического]]

: <math>A = \dfrac{1}{2} (\text{precision + recall})</math>

* Если precision = 0.05, recall = 1, то A = 0.525
* Если precision = 0.525, recall = 0.525, то A = 0.525.
* Первый классификатор — константный, не имеет смысла.
* Второй классификатор показывает неплохое качество.
Таким образом, взятие среднего арифметического не является показательным.

'''Минимум:'''
[[Файл:EX2.png|thumb|145px|Линии уровня для минимума]]

: <tex>\text{M = min(precision, recall)}</tex>

* Если precision = 0.05, recall = 1, то M = 0.05
* Если precision = 0.525, recall = 0.525, то M = 0.525.
То есть, довольно неплохо отражает качество классификатора, не завышая его.
* Если precision = 0.2, recall = 1, то M = 0.2.
* Если precision = 0.2, recall = 0.3, то M = 0.2.
Но не отличает классификаторы с разными неминимальными показателями.

'''Гармоническое среднее, или F-мера:'''
[[Файл:EX3.png|thumb|145px|Линии уровня для F-меры]]

: <tex>\text{F} = \dfrac{2 \cdot \text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision + recall}}</tex>

* Если precision = 0.05, recall = 1, то F = 0.1.
* Если precision = 0.525, recall = 0.525, то F = 0.525.
* Если precision = 0.2, recall = 1, то F = 0.33.
* Если precision = 0.2, recall = 0.3, то F = 0.24.
Является наиболее точным усреднением, учитывает оба показателя.

'''Геометрическое среднее, или Индекс Фоулкса–Мэллова (Fowlkes–Mallows index)'''
: <math> \text{FM} = \sqrt{ \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FP}} \cdot \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FN}} }</math>
Менее строгая мера.

= F-мера =

Для общей оценки качества классификатора часто используют F₁-меру. Оригинально она вычисляется для позитивного класса случая бинарной классификации, обобщается с помощью приниципа «‎один против всех» (описан подробнее ниже, для многоклассовой классификации). F₁-мера  — среднее гармоническое между precision и recall:
: <tex>\text{F}_1 = \left ( \dfrac{\text{precision}^{-1} + \text{recall}^{-1}}{2} \right )^{-1} = 2 \cdot \dfrac{\text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision + recall}}</tex>

Среднее гармоническое '''взвешенное''' F<sub>β</sub> (F<sub>1</sub>-мера — частный случай F<sub>β</sub>-меры для β = 1). 
F<sub>β</sub> измеряет эффективность классификатора учитывая recall в β раз более важным чем precision:
: <tex>\text{F}_β = (1 + β^2) \dfrac{\text{Precision} \cdot \text{Recall}}{β^2 \cdot \text{Precision + Recall}}</tex>

'''F-мера для многоклассовой классификации. Три вида усреднения'''
[[Файл:F_scores.png|thumb|400px|Принцип усреднения различных F-мер для нескольких классов]]
[[Файл:F_scores_сomputing.png|thumb|left|150px|Вычисление TP, FP, FN для многоклассовой классификации]]

Для вычисления F-меры (и других) метрик в рамках многоклассовой классификации используется подход «один против всех»: каждый класс ровно один раз становится «положительным»,
а остальные — отрицательным (пример вычисления изображён на матрице).

Таким образом, в зависимости от этапа вычисления, на котором производится усреднение, можно вычислить micro-average, macro-average и average F-меры (логика вычисления изображена на схеме справа).
Микро- и макро-:
: <tex>\text{F} = 2 \cdot \dfrac{\text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision + recall}}</tex>, 

где для micro-average precision и recall вычислены из усреднённых TP, FP, FN;

для macro-average precision и recall вычислены из усреднённых precision<sub>i</sub>, recall<sub>i</sub>;

Усреднённая:
: <math>\text{F} = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} {\text{F}_1score_i}</math>,
где <math>i</math> — индекс класса, а <math>n</math> — число классов.

= ROC-кривая =
[[Файл:ROC.png|thumb|300px|ROC-кривая; оранжевым показан идеальный алгоритм, фиолетовым — типичный, а синим — худший]]

Для наглядной оценки качества алгоритма применяется [https://ru.wikipedia.org/wiki/ROC-кривая ROC-кривая]. Кривая строится на плоскости, определённой '''TPR''' (по оси ординат) и '''FPR''' (по оси абсцисс). 

Для построении графика используется мягкая классификация: вместо того, чтобы чётко отнести объект к классу, классификатор возвращает вероятности принадлежности объекта к различным классам. Эта уверенность сравнивается с порогом (какой уверенности «достаточно», чтобы отнести объект к положительному классу). В зависимости от значения этого порога меняются значения TPR и FPR.

Алгоритм построения кривой:
# Запустить классификатор на тестовой выборке
# Отсортировать результаты по уверенности классификатора в принадлежности объекта к классу
# Пока не кончились элементы:
## Взять объект с максимальной уверенностью
## Сравнить метку с реальной
## Пересчитать TPR и FPR на взятых объектах
## Поставить точку, если обе характеристики не NaN / ±∞
# Построить кривую по точкам

Таким образом: 
число точек не превосходит число объектов
идеальному алгоритму соответствует ROC-кривая, проходящая через точку <math>(0;1)</math>
худшему алгоритму (например, монетке) соответствует прямая TPR = FPR.

Для численной оценки алгоритма по ROC-кривой используется значение площади под ней ('''AUC''', area under curve). Идеальный алгоритм имеет AUC, равный 1, худший — 0,5.

С другой стороны, для построения ROC-кривой не обязательно пересчитывать TPR и FPR. 

Существует '''альтернативный алгоритм построения ROC-кривой'''.

# сортируем объекты по уверенности классификатора в их принадлежности к положительному классу
# начинаем в точке (0, 0)
# последовательно продолжаем кривую вверх:
#* для каждого «отрицательного» объекта вверх
#* для каждого «положительного» — вправо.

Корректность алгоритма обосновывается тем, что с изменением предсказания для одного объекта в зависимости от его класса меняется либо TPR, либо FPR (значение второго параметра остаётся прежним). Ниже описана другая логика, подводящая к алгоритму выше.

[[Файл:ROC_Algo_Alt_Ex1.png|thumb|left|210px|График Accuracy для идеальной классификации]] 
[[Файл:ROC_Ex1.png|thumb|right|170px|ROC-кривая для идеальной классификации]] 
[[Файл:ROC_Algo_Alt_Ex2.png|thumb|left|210px|График Accuracy для неидеальной классификации]]
[[Файл:ROC_Ex2.png|thumb|right|170px|ROC-кривая для неидеальной классификации]]  





Напомним, что мы работаем с мягкой классификацией. 

Рассмотрим примеры (графики accuracy, цветом указан реальный класс объекта: красный — положительный, синий — отрицательный).
Отсортируем наши объекты по возрастанию уверенности классификатора в принадлежности объекта к положительному классу. Допустим, что объекты находятся на равном (единичном) расстоянии друг от друга.

Начнём перебирать «границу раздела»: если граница в нуле — мы решаем относить все объекты к положительному классу, тогда accuracy = 1/2. 
Последовательно сдвигаем границу по единичке вправо:
* если реальный класс объекта, оказавшегося теперь по другую сторону границы — отрицательный, то accuracy увеличивается, так как мы «угадали» класс объекта, решив относить объекты левее границы к отрицательному классу;
* если же реальный класс объекта — положительный, accuracy уменьшается (по той же логике)

Таким образом, на графиках слева, видно, что:
* на графике идеальной классификации точность в 100% достигается, неидеальной — нет;
* площадь под графиком accuracy идеального классификатора больше, чем аналогичная площадь для неидеального.

Заметим, что, повернув график на 45 градусов, мы получим ROC-кривые для соответствующих классификаторов (графикам accuracy слева соответствуют ROC-кривые справа). Так объясняется альтернативный алгоритм построения ROC-кривой.







= Precision-Recall кривая =
[[Файл:PR_curve.png|thumb|400px|PR кривая]]

'''Обоснование: Чувствительность к соотношению классов.''' 

Рассмотрим задачу выделения математических статей из множества научных статей. Допустим, что всего имеется 1.000.100 статей, из которых лишь 100 относятся к математике. Если нам удастся построить алгоритм <math>a(x)</math>, идеально решающий задачу, то его TPR будет равен единице, а FPR — нулю. Рассмотрим теперь «плохой» алгоритм, дающий положительный ответ на 95 математических и 50.000 нематематических статьях. Такой алгоритм совершенно бесполезен, но при этом имеет TPR = 0.95 и FPR = 0.05, что крайне близко к показателям идеального алгоритма.
Таким образом, если положительный класс существенно меньше по размеру, то AUC-ROC может давать неадекватную оценку качества работы алгоритма, поскольку измеряет долю неверно принятых объектов относительно общего числа отрицательных. Так, алгоритм <math>b(x)</math>, помещающий 100 релевантных документов на позиции с 50.001-й по 50.101-ю, будет иметь AUC-ROC 0.95.

'''Precison-recall (PR) кривая.''' 

Избавиться от указанной проблемы с несбалансированными классами можно, перейдя от ROC-кривой к PR-кривой. Она определяется аналогично ROC-кривой, только по осям откладываются не FPR и TPR, а полнота (по оси абсцисс) и точность (по оси ординат). Критерием качества семейства алгоритмов выступает '''площадь под PR-кривой''' (англ. '''Area Under the Curve — AUC-PR''')


= Источники =
* Coursera: https://www.coursera.org/learn/vvedenie-mashinnoe-obuchenie
* [[Оценка качества в задачах классификации и регрессии]]
* Лекции А. Забашта
* Лекции Е. А. Соколова
* [http://bazhenov.me/blog/2012/07/21/classification-performance-evaluation.html Оценка классификатора (точность, полнота, F-мера)]