Редактирование: О многократных интегралах

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
Идеология построения многократных интегралов полностью копирует двойные.
+
{{В разработке}}
 
 
== Пункт 1. Основные определения ==
 
<tex>\Pi = [a_1; b_1] \times [a_2; b_2] \times \ldots \times [a_n; b_n] \subset \mathbb{R}^n</tex>
 
 
 
<tex>y = f(\bar x) = f(x_1; x_2; \ldots; x_n)</tex>
 
 
 
<tex>\tau_j : a_j = a_{j0} < a_{j1} < \ldots < a_{jp_j} = b_j</tex>
 
 
 
<tex>\Pi_{i_1i_2\ldots i_n} = [a_{1i_1}; a_{1i_1 + 1}] \times [a_{2i_2}; a_{2i_2 + 1}] \times \ldots \times [a_{ni_n}; a_{ni_n + 1}]</tex>
 
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
<tex>\sum f(x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{in}) \Delta a_{1i_1} \Delta a_{2i_2} \ldots \Delta a_{ni_n}</tex> {{---}} интегральная сумма.
 
}}
 
 
 
После этого одновременно все ранги разбиения устремляются к нулю. Если предел не зависит от выбора точек внутри клеток, то эта сумма
 
называется <tex>n</tex>-кратным интегралом Римана по прямоугольнику.
 
 
 
<tex>\int\limits_\Pi f = \int\limits_{a_1}^{b_1} \ldots \int\limits_{a_n}^{b_n} f(x_1; x_2; \ldots x_n) dx_1 dx_2 \ldots dx_n</tex>
 
 
 
Далее, по аналогии, выводим линейность и аддитивность, устанавливаем тот факт, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывная <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists \int f</tex>
 
 
 
Финально, формула повторного интеграла по <tex>\Pi</tex>:
 
 
 
<tex>\int\limits_\Pi f = \int\limits_{a_1}^{b_1} dx_1 \ldots \int\limits_{a_n}^{b^n} f(x_1, \ldots, x_n) dx_n</tex>
 
 
 
== Пункт 2. Интеграл по произвольному множеству ==
 
 
 
<tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>E \subset \Pi</tex>, <tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>,
 
<tex>f_E(\bar x) = \begin{cases}0 & , \bar x \not\subset E\\f(\bar x) & , \bar x \subset E\end{cases}</tex>
 
 
 
Проверяем существование <tex>\int\limits_\Pi f_E</tex>. Если этот интеграл существует, то по аддитивности проверяем, что
 
он не зависит от <tex>\Pi \supset E</tex>, что позволяет по определению считать, что
 
<tex>\int\limits_E f = \int\limits_{\Pi \supset E} f_E</tex>
 
 
 
Это определение уже диктует все свойства <tex>\int\limits_E</tex>. Как и в двойном интеграле выясняется, что всё имеет смысл только
 
для тех <tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, для которых <tex>\exists\int\limits_E 1 = |E|</tex> {{---}} 'объём' <tex>n</tex>-мерной фигуры, а саму
 
фигуру продолжают называть 'квадрируемой'.
 
 
<tex>E</tex> {{---}} квадрируема <tex>\iff</tex> <tex>|\partial E| > 0</tex> (объём границы равен 0).
 
 
 
Выводятся свойства линейности и аддитивности.
 
 
 
Добавление очередной размерности позволяет писать в разных формах формулу повторного интегрирования, оперируя сечениями фигур, которые получаются
 
за счёт введения <tex>m</tex>-мерных гиперплоскостей.
 
 
 
Например, в <tex>\mathbb{R}^3</tex>: <tex>E = \{(x, y) \in G \subset \mathbb{R}^2, z \in (g_1(x, y), g_2(x, y))) \}</tex>
 
 
 
Тогда <tex>\iiint\limits_E f(x, y, z) dx dy dz = \iint\limits_G dx dy \int\limits_{g_1(x, y)}^{g_2(x, y)} f(x, y, z) dz</tex>
 
 
 
Все формулы получаются элементарно: <tex>E \subset \Pi</tex>, <tex>\int\limits_E f = \int\limits_\Pi f_E</tex>. Тут уже есть повторный интеграл.
 
Далее, для точек сечения вне <tex>E</tex> <tex>f(\bar x) = 0</tex>. Получается переменный предел интегрирования.
 
 
 
== Пункт 3. Замена переменных интегрирования ==
 
 
 
Если исходные переменные выражаются через <tex>n</tex> других,
 
 
 
<tex>\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0</tex>
 
 
 
<tex>\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u</tex>
 
 
 
Так же, как и с двойным интегралом, важнейшим этапом доказательства является то, что <tex>E = \int\limits_E |\mathcal{J}(\bar u)|d \bar u</tex>.
 
 
 
Однако, это скорее геометрический факт, нежели факт анализа.
 
 
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: