Редактирование: О нелинейных операторных уравнениях

{{В разработке}}

[[Теория Гильберта-Шмидта|<<]]

Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>. 

Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.

В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.

== Простые итерации ==

Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.

Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.

Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'_x (\Delta x) + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}'_x </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.

<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex>

{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>

|proof=

Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.

В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.

Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:

Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.

<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.

Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex>  \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.

Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex>

Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| \le (\frac {1-q}2 + q) \delta = \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>. 

Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \ldots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.

}}

== Метод Ньютона-Канторовича ==

Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство. 

Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича. 

<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.

<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \ldots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex>.

Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.

<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex>

Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: 

<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>. 

<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.

Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции 

<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>

<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex>

Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации. 

{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
|proof=

<tex> \| \mathcal{F} (\overline x - \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex> 

<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) -  \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex> 

<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex>

Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>: 

<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> 

<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex> 

<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>. 

Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex>

<tex> = 
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex> 

<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>. 

Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex> 

}}

== Теорема Шаудера ==

Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>. 

Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра: 

{{Теорема
|author=Брауэр
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. 
}} 

Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. 
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. 
}}

{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. 

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = \mathcal{T}x^* </tex>.
}} 

Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.  

=== Вспомогательные факты ===

{{Утверждение
|about=Факт Первый
|statement=
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).

Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.

|proof=

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.

По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \ldots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.

<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.

<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети. 

Окончательно, <tex> \exists y_1, \ldots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.

}}

{{Утверждение
|about=Факт Второй
|statement=

Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>. 

Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \ldots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \ldots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно.  

|proof=

По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.

Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \ldots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств. 

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \ldots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \ldots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже. 

Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. 

Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.

Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>. 

Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>. 

<tex> \| y - y_j \| </tex>

<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.

Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.

Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.

В итоге, получили, что <tex> y_1, \ldots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.

}}

=== Проекторы Шаудера ===

Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.

<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.

<tex> \forall \varepsilon > 0 \; \exists y_1 \in M, \ldots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \ldots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases} 
0                           & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} 
</tex>

Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. В самом деле, вне интервала <tex> (y_j - \varepsilon;\,y_j + \varepsilon) </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна как константа, внутри интервала она непрерывна в силу непрерывности нормы, а кроме того <tex> \lim\limits_{y \rightarrow y_j \pm \varepsilon} (\varepsilon - \| y - y_j \|) = 0 = \mu_j(y_j \pm \varepsilon) </tex>

Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно. 

Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex>

{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>.  

<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \ldots, y_p) </tex>

Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \ldots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) \cdot y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) \cdot y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) \cdot (y_j - y) \| </tex>.

Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) \cdot (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) \le \varepsilon </tex>.

Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.

Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \operatorname{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.

По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.

В итоге мы имеем следующую теорему:

{{Теорема
|statement=
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.
}}

Соединяя с теоремой Брауэра, получим:

<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.

Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} подмножество конечномерного пространства. Каждое <tex> M_n </tex> является замкнутым выпуклым множеством, поскольку является линейной оболочкой соответствующей <tex>\frac{1}{n}</tex>-сети.

Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \ldots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.

<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>. 

По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>. 

По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.

Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.

[[Файл:Thats_all_forks.jpg|600px]]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]