О почленном интегрировании ряда Фурье — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
 
[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
 
[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
 
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  
<tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx</tex>
+
<tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>
  
 
Есть функции, для которых ряд расходится в каждой точке.  
 
Есть функции, для которых ряд расходится в каждой точке.  
Строка 9: Строка 8:
 
<tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>
 
<tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>
  
<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{\le}{x_k \le x_{k+1}} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>
+
Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>
 +
 
 +
1) '''Органиченность вариации'''
 +
 
 +
<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>
  
Создадим разбиение нашего промежутка. Тогда вариация  
+
Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация  
  
 
<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
 
<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
Строка 17: Строка 20:
 
<tex>= \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>
 
<tex>= \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>
  
Значит, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| \le +\infty</tex>
+
Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.
 
 
Итак, на <tex>Q</tex> <tex>f</tex> имеет ограниченную вариацию.
 
  
Проверим, что <tex>F</tex> {{---}} <tex>2\pi</tex>-периодична.
+
2) '''Периодичность'''
  
 
<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>
 
<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>
Строка 27: Строка 28:
 
Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,  
 
Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,  
 
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
 
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>
+
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>
  
 
<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>
 
<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>
  
Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по теореме Жордана, в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,  
+
Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,  
 
<tex>\sigma(f, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>
 
<tex>\sigma(f, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>
  
Строка 37: Строка 38:
 
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>
 
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>
  
Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем.
+
Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.
 
 
<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) </tex>
 
<tex>= \frac1{\pi n} (F(x) \sin x)^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x) = 0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)</tex>
 
 
 
Сошлёмся на пока неизвестный факт(далее его установим), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема  
 
по верхнему пределу интегрирования и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.
 
  
<tex>\int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) = \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = \pi b_n n </tex>
+
<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex>
{{TODO|t=подозрительно}}
+
<tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex>
 +
<tex> -\frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex>
 +
<tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n}{n} </tex>
  
Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{\pi n}</tex>. В силу сказанного выше,  
+
Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,  
  
 
<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>
 
<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>
Строка 59: Строка 56:
 
Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.
 
Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.
  
Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.
+
Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.
 
 
При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=0}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.  
 
  
По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно, так как, иначе, он был бы рядом Фурье)
+
При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.
  
Предположим, что это ряд Фурье. <tex>b_n(f) = \int \frac1{\ln n}</tex>
+
По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье)
  
Тогда ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но <tex>\sum \frac1{n\ln n} ~ \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty</tex>. Значит, это не ряд Фурье.  
+
Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \int \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши <tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty</tex>. Значит, это не ряд Фурье.  
  
Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n  \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n \sin nx</tex>
+
Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n  \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n \sin nx</tex>
  
 
<tex>\int\limits_0^x A_n(f, x) dx + \frac{a_n(f)}n \sin nx \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nx \big|^x_0</tex>
 
<tex>\int\limits_0^x A_n(f, x) dx + \frac{a_n(f)}n \sin nx \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nx \big|^x_0</tex>
Строка 81: Строка 76:
 
Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>
 
Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>
  
Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.  
+
Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.
 
 
{{Теорема
 
|author=Лузин, Данжуа
 
|statement={{TODO|t=???}}
 
|proof={{TODO|t=????}}
 
}}
 
  
 
[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
 
[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Версия 19:20, 23 июня 2012

<<>>

Эта статья находится в разработке!

[math]f \in L_1[/math], [math]\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)[/math]

Есть функции, для которых ряд расходится в каждой точке.

[math]F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt[/math]

Докажем, что [math] F(x) \in \bigvee [/math]

1) Органиченность вариации

[math]|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k \lt x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt[/math]

Создадим разбиение нашего промежутка: [math] -\pi = x_0 \lt \dots \lt x_p = \pi [/math]. Тогда вариация

[math]\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) [/math] [math]\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt[/math] [math]= \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt \lt +\infty[/math]

Так как это выполняется для любого разбиения, [math]\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| \lt +\infty[/math]. Итак, [math]F[/math] имеет ограниченную вариацию на [math]Q[/math].

2) Периодичность

[math]F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}[/math]

Под знаком интеграла [math]2\pi[/math]-периодическая функция, значит, [math]\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt [/math] [math]= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0[/math] = [по определению [math]a_0[/math]] [math]\pi a_0 - \pi a_0 = 0[/math]

[math]\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)[/math]

Итак, [math]F \in \bigvee[/math]. Значит,по теореме Жордана, в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится, [math]\sigma(f, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2[/math]

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что [math]F[/math] — непрерывна и [math]F \in CV[/math], а также, [math]\sigma(F, x) = F(x)[/math]

Теперь вычислим коэффициенты Фурье [math]F[/math]. [math]a_0(F)[/math] считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что [math]F[/math] для почти всех [math]x[/math] дифференцируема по верхнему пределу интегрирования и значение производной равно [math]f(x)[/math].

[math]a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = [/math] [math] \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = [/math] [math] -\frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =[/math] [math] -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n}{n} [/math]

Значит, [math]a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}[/math]. Аналогично, [math]b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}[/math]. В силу сказанного выше,

[math]F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)[/math]

Подставим [math]0[/math] и убедимся, что [math]\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n[/math]

Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но [math]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n[/math] всегда сходится.

Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.

Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}[/math]. Очевидно, [math]\frac1{\ln n} \to 0[/math].

При [math]x = 0[/math] ряд сходится. При [math]x \ne 0[/math], [math]\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}[/math], то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье)

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда [math]b_n(f) = \int \frac1{\ln n}[/math] и ряд [math]\sum \frac1{n\ln n}[/math] должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши [math]\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty[/math]. Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле [math]F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)[/math]. Рассмотрим [math]A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n \sin nx[/math]

[math]\int\limits_0^x A_n(f, x) dx + \frac{a_n(f)}n \sin nx \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nx \big|^x_0[/math] [math]=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n[/math]

Значит, если составить ряд из интегралов [math]\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx[/math] [math]= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right)[/math] [math]= \int\limits_0^x \left(f(x) - \frac{a_0}2 \right) dt [/math] [math]= \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt[/math]

Получаем, [math]\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt[/math]

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.

<<>>