Редактирование: Парадоксы теории вероятностей

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 9: Строка 9:
 
Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги.  
 
Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги.  
 
После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают  
 
После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают  
следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex>X</tex>. Если <tex>X = 1</tex>, то менять точно выгодно. Если <tex>X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2 \cdot X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="80"> \dfrac{(2 \cdot  X + \dfrac{X}{2})}{2} = \dfrac{5}{4} \cdot  X </tex>. То есть больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?  
+
следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex>X</tex>. Если <tex>X = 1</tex>, то менять точно выгодно. Если <tex>X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="80"> \dfrac{(2X + \dfrac{X}{2})}{2} = \dfrac{5}{4} X </tex>. То есть больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
  
В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex> 2 \cdot  X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. В действительности этого не может быть.
+
В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex> 2X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. В действительности этого не может быть.
  
 
Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>p(2^{x_1})</tex> {{---}} вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.
 
Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>p(2^{x_1})</tex> {{---}} вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.
Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, то есть <tex>p(x)</tex> постоянна. Но <tex> \sum\limits_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (так как это вероятностное распределение) {{---}} противоречие.
+
Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <tex>p(x)</tex> постоянна. Но <tex> \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) {{---}} противоречие.
  
 
Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.
 
Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.
Строка 24: Строка 24:
 
* вероятность выпадения <tex>1</tex> и <tex>2</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)</tex>
 
* вероятность выпадения <tex>1</tex> и <tex>2</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)</tex>
  
* вероятность выпадения <tex>2</tex> и <tex>4</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q) \cdot  q</tex>
+
* вероятность выпадения <tex>2</tex> и <tex>4</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)q</tex>
  
* вероятность выпадения <tex>4</tex> и <tex>8</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q) \cdot  q^2</tex>
+
* вероятность выпадения <tex>4</tex> и <tex>8</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)q^2</tex>
  
* вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q) \cdot  q^i</tex>
+
* вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)q^i</tex>
  
 
* и так далее.
 
* и так далее.
Строка 36: Строка 36:
 
Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <tex>2^{i-1}</tex> {{---}} <tex> \dfrac{1}{1+q} </tex>, а того, что в другом конверте <tex>2^{i+1}</tex> {{---}} <tex>\dfrac{q}{1+q} </tex>   
 
Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <tex>2^{i-1}</tex> {{---}} <tex> \dfrac{1}{1+q} </tex>, а того, что в другом конверте <tex>2^{i+1}</tex> {{---}} <tex>\dfrac{q}{1+q} </tex>   
  
Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \dfrac{1}{1+q} + 2^{i+1} \cdot \dfrac{q}{1+q} \right ) = 2^i \cdot \left ( \dfrac{1 + 4 \cdot q}{2 + 2 \cdot q} \right ) </tex>.
+
Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \dfrac{1}{1+q} + 2^{i+1} \cdot \dfrac{q}{1+q} \right ) = 2^i \cdot \left ( \dfrac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>.
  
 
При <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?
 
При <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?
Строка 43: Строка 43:
 
Рассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не будем менять конверты.
 
Рассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не будем менять конверты.
  
<tex>E = \dfrac{1 - q}{2} \cdot 1 + \sum\limits_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \dfrac{(1 - q) \cdot q^{i-1} + (1-q) \cdot  q^i }{2} \right ) = \dfrac{1 - q}{2} + (1 - q^2)\cdot  \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( 2 \cdot  q \right )^i</tex>, а так как <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \infty</tex>.
+
<tex>E = \dfrac{1 - q}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \dfrac{(1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \dfrac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex>, а так как <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \infty</tex>.
  
А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \dfrac{1 + 4 \cdot  q}{2 + 2 \cdot q} \right ) </tex> ошибки нет.
+
А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \dfrac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> ошибки нет.
  
 
== Парадокс Монти Холла (Monty Hall problem) ==
 
== Парадокс Монти Холла (Monty Hall problem) ==
Строка 54: Строка 54:
 
=== Решение ===
 
=== Решение ===
 
После того, как ведущий открыл одну из дверей с козой, автомобиль может быть либо за выбранной первоначально дверью, либо за оставшейся. С житейской точки зрения, вероятность выигрыша не зависит от первоначального выбора, при любом поведении одинакова и равна <tex>0,5</tex>. Однако, такой ход рассуждений неверен.
 
После того, как ведущий открыл одну из дверей с козой, автомобиль может быть либо за выбранной первоначально дверью, либо за оставшейся. С житейской точки зрения, вероятность выигрыша не зависит от первоначального выбора, при любом поведении одинакова и равна <tex>0,5</tex>. Однако, такой ход рассуждений неверен.
Предположим, что мы выбрали дверь номер <tex>1</tex>.  
+
Предположим, что мы выбрали дверь <tex>1</tex>.  
Пусть событие <tex>A</tex> {{---}} автомобиль за дверью номер <tex>2</tex>. <tex>B</tex> {{---}} автомобиль за дверью номер <tex> 3</tex>.
+
Пусть событие <tex>A</tex> {{---}} автомобиль за дверью <tex>2</tex>. <tex>B</tex> {{---}} автомобиль за дверью <tex> 3</tex>.
 
<tex>P(A) =\dfrac{2}{3}  \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}; P(B) = \dfrac{2}{3}  \cdot \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3}</tex>, где <tex>\dfrac{1}{2}</tex> {{---}} условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
 
<tex>P(A) =\dfrac{2}{3}  \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}; P(B) = \dfrac{2}{3}  \cdot \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3}</tex>, где <tex>\dfrac{1}{2}</tex> {{---}} условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
 
Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно <tex>1</tex> бит информации и меняет условные вероятности для <tex>B</tex> и <tex>C</tex> соответственно на <tex>"1"</tex> и <tex>"0"</tex>.
 
Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно <tex>1</tex> бит информации и меняет условные вероятности для <tex>B</tex> и <tex>C</tex> соответственно на <tex>"1"</tex> и <tex>"0"</tex>.
Строка 101: Строка 101:
 
<tex> E_{2} = 2 \cdot \dfrac{1}{4}  = 0,5</tex>;
 
<tex> E_{2} = 2 \cdot \dfrac{1}{4}  = 0,5</tex>;
  
<tex>\ldots</tex>
+
...
  
 
<tex> E_{n} = \dfrac{2^{n-1}}{2^n}  = 0,5</tex>;
 
<tex> E_{n} = \dfrac{2^{n-1}}{2^n}  = 0,5</tex>;
  
Согласно линейности математического ожидания, ожидание выигрыша в этом случае равно <tex>E_{1}+E_{1}+ \ldots = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
+
Согласно линейности математического ожидания, ожидание выигрыша в этом случае равно <tex>E_{1}+E_{1}+... = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
 
Данный парадокс до сих пор не имеет математически полного решения. Нетрудно заметить, что задача легко решается если наложить ограничения на количество игр и предельно малую вероятность, которую можно считать ненулевой.
 
Данный парадокс до сих пор не имеет математически полного решения. Нетрудно заметить, что задача легко решается если наложить ограничения на количество игр и предельно малую вероятность, которую можно считать ненулевой.
  
Строка 113: Строка 113:
 
Пусть <tex>p</tex> {{---}} предельная ненулевая вероятность. То есть, если событие имеет вероятность меньше, чем <tex>p</tex>, то оно не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex>\log_2 \dfrac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
 
Пусть <tex>p</tex> {{---}} предельная ненулевая вероятность. То есть, если событие имеет вероятность меньше, чем <tex>p</tex>, то оно не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex>\log_2 \dfrac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
  
<tex>1 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{4}+ \ldots +2^{n} \cdot \dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{n}{2},</tex> где <tex>n=\log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
+
<tex>1 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{n}{2},</tex> где <tex>n=\log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
  
Таким образом, средний выигрыш равен <tex>\dfrac{1}{2} \cdot  \log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
+
Таким образом, средний выигрыш равен <tex>\dfrac{1}{2} \log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
  
 
== Парадокс спящей красавицы (Sleeping Beauty problem) ==
 
== Парадокс спящей красавицы (Sleeping Beauty problem) ==
Строка 128: Строка 128:
  
 
'''Решение 2.'''  
 
'''Решение 2.'''  
Проведём эксперимент <tex>1000</tex> раз. Спящую красавицу будят в среднем <tex>500</tex> раз с орлом и <tex>1000</tex> раз с решкой (так как в случае решки спящую красавицу спрашивают <tex>2</tex> раза). Поэтому вероятность решки <tex>\dfrac{2}{3}</tex>.
+
Проведём эксперимент <tex>1000</tex> раз. Спящую красавицу будят в среднем <tex>500</tex> раз с орлом и <tex>1000</tex> раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают <tex>2</tex> раза). Поэтому вероятность решки <tex>\dfrac{2}{3}</tex>.
 
=== Решение ===
 
=== Решение ===
 
<tex>\dfrac{1}{2}</tex> {{---}} это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: первый день, орёл {{---}} <tex>\dfrac{1}{2}</tex>; первый день, решка {{---}} <tex>\dfrac{1}{4}</tex>; второй день, решка {{---}} <tex>\dfrac{1}{4}</tex>.
 
<tex>\dfrac{1}{2}</tex> {{---}} это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: первый день, орёл {{---}} <tex>\dfrac{1}{2}</tex>; первый день, решка {{---}} <tex>\dfrac{1}{4}</tex>; второй день, решка {{---}} <tex>\dfrac{1}{4}</tex>.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: