Пересечение всех максимальных по включению барьеров — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(fixes 4.0)
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 16: Строка 16:
 
|statement = Пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex> равно <tex>A(G)</tex>.
 
|statement = Пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex> равно <tex>A(G)</tex>.
 
|proof = Пусть <tex>H</tex> {{---}} пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex>. Чтобы доказать теорему, докажем, что <tex>A(G)\subset H</tex> и <tex>A(G)\supset H</tex>.<br>
 
|proof = Пусть <tex>H</tex> {{---}} пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex>. Чтобы доказать теорему, докажем, что <tex>A(G)\subset H</tex> и <tex>A(G)\supset H</tex>.<br>
 +
[[Файл: Max_barriers_a.png|170px|thumb|right|Рисунок <tex>1</tex>]]
 +
[[Файл: Max_barriers_b.png|170px|thumb|right|Рисунок <tex>2</tex>]]
 
<br>
 
<br>
<tex>A(G)\subset H</tex><br>  
+
<tex>A(G)\subset H</tex>:<br>  
 
Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный по включению барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G) \Rightarrow |B'| = |B| + k</tex>.<br>
 
Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный по включению барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G) \Rightarrow |B'| = |B| + k</tex>.<br>
 
Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>
 
Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>
[[Файл: Max_barriers_a.png|170px|thumb|right|Рисунок <tex>1</tex>]]
+
Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - B</tex>, содержащая <tex>t > 0</tex> вершин из <tex>A(G)</tex> (см. рисунок <tex>1</tex>), если такой компоненты нет, то <tex>k = 0</tex> {{---}} противоречие. <br>
[[Файл: Max_barriers_b.png|170px|thumb|right|Рисунок <tex>2</tex>]]
+
В силу [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct1| леммы о связи барьера]] с <tex>D(G)</tex>, <tex>B\cap D(G) = \varnothing \Rightarrow B'\cap D(G) = \varnothing</tex>. Поэтому, <tex>W</tex> содержит все компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, соединённые рёбрами с <tex>W\cap A(G)</tex>. <br>
Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - B</tex>, содержащая <tex>t > 0</tex> вершин из <tex>A(G)</tex> (см. рисунок <tex>1</tex>). <br>
 
В силу [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct1| леммы о связи барьера]] с <tex>D(G)</tex>, <tex>B'\cap D(G) = \varnothing</tex>. Поэтому, <tex>W</tex> содержит все компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, соединённые рёбрами с <tex>W\cap A(G)</tex>. <br>
 
 
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы <tex>t + 1</tex>. <br>
 
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы <tex>t + 1</tex>. <br>
Таким образом, при добавлении <tex>t</tex> вершин из <tex>W\cap A(G)</tex> в барьер может исчезнуть одна нечётная компонента связности (если <tex>|W|</tex> нечётно), а появляется хотя бы <tex>t + 1</tex> нечётная компонента связности. <br>
+
Таким образом, при добавлении <tex>t</tex> вершин из <tex>W\cap A(G)</tex> в барьер может исчезнуть одна нечётная компонента связности (если <tex>|W|</tex> нечётно), а появляется хотя бы <tex>t + 1</tex> нечётных компонент связности. <br>
 
Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа <tex>G - B</tex>, содержащим вершины из <tex>A(G)</tex>, мы получим, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, что и требовалось доказать.<br>
 
Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа <tex>G - B</tex>, содержащим вершины из <tex>A(G)</tex>, мы получим, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, что и требовалось доказать.<br>
 
<br>
 
<br>
<tex>A(G)\supset H</tex><br>
+
<tex>A(G)\supset H</tex>:<br>
 
Предположим противное: пусть существует вершина <tex>x\notin A(G)</tex>, принадлежащая всем максимальным барьерам. По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct3| теореме о структуре барьера]] <tex>x\in C(G)</tex>.<br>
 
Предположим противное: пусть существует вершина <tex>x\notin A(G)</tex>, принадлежащая всем максимальным барьерам. По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct3| теореме о структуре барьера]] <tex>x\in C(G)</tex>.<br>
 
Рассмотрим максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex>, пусть <tex>xy\in M</tex>.<br>
 
Рассмотрим максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex>, пусть <tex>xy\in M</tex>.<br>

Текущая версия на 12:56, 27 декабря 2017

Определение:
Максимальным по включению барьером (англ.maximal barrier) называется барьер, не являющийся подмножеством любого другого барьера.





Теорема:
Пересечение всех максимальных по включению барьеров графа [math]G[/math] равно [math]A(G)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]H[/math] — пересечение всех максимальных по включению барьеров графа [math]G[/math]. Чтобы доказать теорему, докажем, что [math]A(G)\subset H[/math] и [math]A(G)\supset H[/math].

Рисунок [math]1[/math]
Рисунок [math]2[/math]


[math]A(G)\subset H[/math]:
Пусть [math]B[/math] — максимальный по включению барьер, [math]|A(G)\setminus B| = k \gt 0[/math], [math]B' = B \cup A(G) \Rightarrow |B'| = |B| + k[/math].
Докажем, что [math]B'[/math] — барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k[/math], ведь в таком случае [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)[/math].
Пусть [math]W[/math] — компонента связности графа [math]G - B[/math], содержащая [math]t \gt 0[/math] вершин из [math]A(G)[/math] (см. рисунок [math]1[/math]), если такой компоненты нет, то [math]k = 0[/math] — противоречие.
В силу леммы о связи барьера с [math]D(G)[/math], [math]B\cap D(G) = \varnothing \Rightarrow B'\cap D(G) = \varnothing[/math]. Поэтому, [math]W[/math] содержит все компоненты связности графа [math]G(D(G))[/math], соединённые рёбрами с [math]W\cap A(G)[/math].
По теореме Эдмондса-Галлаи все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы [math]t + 1[/math].
Таким образом, при добавлении [math]t[/math] вершин из [math]W\cap A(G)[/math] в барьер может исчезнуть одна нечётная компонента связности (если [math]|W|[/math] нечётно), а появляется хотя бы [math]t + 1[/math] нечётных компонент связности.
Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа [math]G - B[/math], содержащим вершины из [math]A(G)[/math], мы получим, что [math]\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k[/math], что и требовалось доказать.

[math]A(G)\supset H[/math]:
Предположим противное: пусть существует вершина [math]x\notin A(G)[/math], принадлежащая всем максимальным барьерам. По теореме о структуре барьера [math]x\in C(G)[/math].
Рассмотрим максимальное паросочетание [math]M[/math] графа [math]G[/math], пусть [math]xy\in M[/math].
Докажем, что [math]B = A(G)\cup \{ y \}[/math] — барьер графа [math]G[/math]. Так как [math]|B| = |A(G)| + 1[/math], достаточно доказать, что [math]\mathrm{odd}(B)\ \geqslant \mathrm{odd}(A(G))\ + 1[/math].
По теореме Эдмондса-Галлаи [math]y\in C(G)[/math]. Пусть [math]W[/math] — компонента связности графа [math]C(G)[/math], содержащая [math]x[/math] и [math]y[/math] (см. рисунок [math]2[/math]). Вершины [math]W[/math] разбиваются на пары соединённых рёбрами из [math]M[/math], поэтому [math]|W|[/math] чётно.
Множество [math]W' = W\setminus \{ y \}[/math] содержит нечётное число вершин и является объединением нескольких компонент связности графа [math] G - B[/math], которых нет в [math]G - A(G)[/math]. Среди этих компонент связности есть нечётная, значит [math]B[/math] — барьер графа [math]G[/math].
Пусть [math]B'[/math] — максимальный барьер графа [math]G[/math], содержащий [math]B[/math].
В максимальном паросочетании [math]M[/math] графа [math]G[/math] все вершины барьера [math]B'[/math] должны быть соединены рёбрами с вершинами различных нечётных компонент связности графа [math]G - B'[/math], следовательно, [math]x\notin B'[/math].

Полученное противоречие показывает, что пересечение всех максимальных барьеров графа [math]G[/math] может содержать только вершины из [math]A(G)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Карпов Д. В. — Теория графов, стр 54-55