Пересечение матроидов, определение, примеры — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 20: Строка 20:
 
|proof =
 
|proof =
 
Рассмотрим пару <tex>\langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>, <tex>X</tex> {{---}} ребра разноцветного леса, <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>.
 
Рассмотрим пару <tex>\langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>, <tex>X</tex> {{---}} ребра разноцветного леса, <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2</tex>.
Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть <tex>\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| > |B| </tex> и <tex>\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}</tex> (См. пример 1)
+
Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть <tex>\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| > |B| </tex> и <tex>\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}</tex> (См. пример <tex>1</tex>)
 
[[Файл:Example2_DY.png|300px|thumb|left|Пример 1]]
 
[[Файл:Example2_DY.png|300px|thumb|left|Пример 1]]
  

Текущая версия на 17:00, 11 декабря 2018

Определение:
Пусть даны два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1\rangle[/math] и [math]M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math]. Пересечением матроидов (англ. matroid intersection) [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] называется пара [math]M_1 \cap M_2 = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math], где [math]X[/math] — носитель исходных матроидов, а [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math].
  • Пересечение матроидов не всегда является матроидом.
  • Пересечение трех и более матроидов является NP-полной задачей.


Разноцветный лес[править]

[math]M_1[/math]графовый матроид, [math]M_2[/math]разноцветный матроид (англ. multicolored matroid) (Множество независимо, если в нём нет двух ребер одного цвета). Тогда их пересечение — это разноцветный лес (англ. rainbow forests).

Пересечение матроидов, база матроида
Утверждение:
Пересечение данных матроидов не является матроидом.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math]\langle X, \mathcal{I}\rangle[/math], [math]X[/math] — ребра разноцветного леса, [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]. Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть [math]\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| \gt |B| [/math] и [math]\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}[/math] (См. пример [math]1[/math])

Пример 1
[math]\triangleleft[/math]

Двудольный граф[править]

Пусть [math]G[/math]двудольный граф и заданы два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle[/math], [math]M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], где [math]X[/math] — множество ребёр графа, [math]\mathcal{I}_1 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in L \}[/math], [math]\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in R \}[/math]. Тогда их пересечение — это множество всевозможных паросочетаний графа.

Утверждение:
Пересечение данных матроидов не является матроидом.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math]\langle X, \mathcal{I}\rangle[/math], [math]X[/math] — носитель, [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]. Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть [math]\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| \gt |B| [/math] и [math]\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}[/math] (См. пример 2)

Пример 2
[math]\triangleleft[/math]

Ориентированный лес[править]

Определение:
Ориентированное дерево (англ. arborescence) — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода [math]1[/math] (в них ведёт ровно по одной дуге).

Пусть [math]D = \langle V, X \rangle [/math] — ориентированнный граф. Граф [math]G[/math] — неориентированный граф, соответствующий графу [math]D[/math]. Тогда рассмотрим два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle, M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], где [math]X[/math] — множество ребёр графа. [math]M_1[/math]графовый матроид [math]G[/math], [math]\mathcal{I}_1 = \{X' \subseteq X: X'[/math] — лес в [math]G \}[/math]. [math]M_2[/math]матроид разбиений графа [math]D[/math], [math]\mathcal{I}_2 = \{X' \subseteq X: |\deg^-(v) \cap X'| \leqslant 1, \forall v \in V \}[/math]. Пересечение данных матроидов являются множества ориентированных лесов.

Утверждение:
Пересечение данных матроидов является матроид.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим матроид пересечения [math]M = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math], [math]A[/math] — множество ребер, [math]\mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости:

1) [math]\varnothing \in \mathcal{I}[/math]

Пустое множество является ориентированным деревом, а значит входит в [math]\mathcal{I}[/math].

2) [math]A \subset B, \ B \in \mathcal{I} \Rightarrow A \in \mathcal{I}[/math] Любой подграф ориентированного леса также является ориентированным лесом, так как во-первых, степень захода каждой вершины в подграфе могла только уменьшится, во-вторых, подграф ацикличного графа — ацикличен.

3) [math]A \in \mathcal{I}, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow 9 x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in \mathcal{I}[/math]

Пусть количество вершин в множестве [math]A[/math] равно [math]k[/math]. Тогда количество ребер в [math]A[/math] равно [math]k - 1[/math]. Так как [math]|B| \gt |A|[/math], следовательно количество ребер в множестве [math]B[/math] не меньше [math]k[/math]. Пусть все ребра из множества [math]B[/math] ведут в вершины множества [math]A[/math], значит в каждую вершину множества [math]A[/math] входит по одному ребру множества [math]B[/math]. Тогда возьмем то ребро, которое указывает в корень (в вершину с нулевой степенью захода), получим ориентированное дерево с новым корнем. Пусть не все ребра множества [math]B[/math] указывают в вершины множества [math]A[/math], тогда возьмем то ребро [math]uv[/math], которое указывает в вершину не принадлежащую [math]A[/math]. Покажем, что оно нам подойдет. Если [math]u \in V(A)[/math], тогда наше текущее ориентированное дерево пополнится еще одной вершиной и ведущем к ней ребру. Если [math]u \notin V(A)[/math], то мы получим еще одно ориентированное дерево.

Таким образом, мы нашли ребро в множестве [math]B \setminus A[/math], которое можем добавить в множество [math]A[/math] с сохранением независимости.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
  • Lecture notes on matroid intersection