Редактирование: Пересечение многоугольников (PSLG overlaying)

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
== Введение ==
+
== Постановка задачи ==
[[Файл:PSLG_overlaying_w.png|400px|right|thumb|Пример работы алгоритма пересечения ППЛГ]]
+
[[Файл:PSLG_overlaying.png|400px|right|thumb|Пример работы алгоритма пересечения ППЛГ]]
Пересечением двух [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|ППЛГ]] является ППЛГ, получающийся наложением двух исходных ППЛГ с созданием вершин в точках пересечения ребер. Определим пересечение двух ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> как ППЛГ <tex>O(S_1, S_2)</tex>, такой, что в нем существует грань <tex>f</tex> тогда и только тогда, когда существуют грани <tex>f_1</tex> в <tex>S_1</tex> и <tex>f_2</tex> в <tex>S_2</tex> такие, что <tex>f</tex> является наибольшим связным подмножеством <tex>f_1 \cap f_2</tex>. Иначе говоря, пересечение двух ППЛГ — это разбиение плоскости с помощью ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>.  
+
Определим пересечение двух [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|ППЛГ]] <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> как ППЛГ <tex>O(S_1, S_2)</tex>, такой, что в нем существует грань <tex>f</tex> тогда и только тогда, когда существуют грани <tex>f_1</tex> в <tex>S_1</tex> и <tex>f_2</tex> в <tex>S_2</tex> такие, что <tex>f</tex> является наибольшим связным подмножеством <tex>f_1 \cap f_2</tex>. Иначе говоря, пересечение двух ППЛГ — это разбиение плоскости с помощью ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Необходимо построить [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]] для <tex>O(S_1, S_2)</tex>, имея РСДС для <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Кроме того, для каждой грани из <tex>O(S_1, S_2)</tex> будем хранить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие ее.
{{Задача
 
|definition = Необходимо построить [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]] для <tex>O(S_1, S_2)</tex>, имея РСДС для <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Кроме того, для каждой грани из <tex>O(S_1, S_2)</tex> будем хранить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие ее.
 
}}
 
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Для начала скопируем ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в новый РСДС. Далее необходимо преобразовать полученный РСДС, чтобы он соответствовал <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Отдельно рассмотрим преобразования вершин, полуребер и граней.
+
Для начала, скопируем ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в новый РСДС. Далее необходимо преобразовать полученный РСДС, чтобы он соответствовал <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Отдельно рассмотрим преобразования вершин, полуребер и граней.
  
 
=== Вершины и полуребра ===
 
=== Вершины и полуребра ===
[[Файл:PSLG_sweep_w.png|220px|right|thumb|Алгоритм заметающей прямой]]
+
[[Файл:PSLG_sweep.png|220px|right|thumb|Алгоритм заметающей прямой]]
Алгоритм базируется на [[Пересечение множества отрезков|заметающей прямой]], определяющей пересечения отрезков. Запускаем алгоритм на множестве отрезков, представляющих собой ребра из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Напомним, что алгоритм поддерживает очередь событий <tex>Q</tex> и текущий статус <tex>T</tex> заметающей прямой. Также будем поддерживать ссылки между ребрами статуса и соответствующими полуребрами из РСДС. Поддерживаемый инвариант: в любой момент времени РСДС над заметающей прямой корректен.
+
Алгоритм базируется на [[Пересечение множества отрезков|заметающей прямой]], определяющей пересечения отрезков. Запускаем алгоритм на множестве отрезков, представляющих собой ребра из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Напомним, что алгоритм поддерживает очередь событий <tex>Q</tex> и текущий статус <tex>T</tex> заметающей прямой. Также будем поддерживать ссылки между ребрами статуса и соответствующими полуребрами из РСДС. Поддерживаемый инвариант: над заметающей прямой корректный РСДС.
  
Обработка точки события происходит следующим образом: сначала обновляем <tex>Q</tex> и <tex>T</tex> (как в алгоритме пересечения отрезков). Если оба ребра события принадлежат одному ППЛГ, переходим к следующему событию. В противном случае, необходимо модифицировать РСДС. Возможны следующие варианты пересечений (см. рисунок ниже):
+
Обработка точки события происходит следующим образом: сначала обновляем <tex>Q</tex> и <tex>T</tex> (как в алгоритме пересечения отрезков). Если оба ребра события принадлежат одному ППЛГ, переходим к следующему событию. В противном случае, необходимо модифицировать РСДС. Возможны следующие варианты событий (см. рисунок ниже):
<ol type="a">
 
<li>Вершина ребра <tex>e_2</tex> проходит через ребро <tex>e_1</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li>
 
<li>Ребро <tex>e_1</tex> пересекает ребро <tex>e_2</tex>. Образуется четыре новых ребра.</li>
 
<li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> пересекаются в общей вершине.</li>
 
<li>Вершина ребра <tex>e_1</tex> проходит через ребро <tex>e_2</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li>
 
<li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> имеют общий отрезок. Образуется новое ребро.</li>
 
</ol>
 
  
{| cellpadding="3"
+
<картинка>
|[[Файл:PSLG_overlay_cases_w.png|600px|center|thumb|Варианты пересечений ребер <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. Слева направо случаи (a) - (e).]]
 
|}
 
  
Рассмотрим один из случаев, остальные обрабатываются аналогично. Пусть ребро <tex>e</tex> из <tex>S_1</tex> проходит через вершину <tex>v</tex> из <tex>S_2</tex>. Ребро <tex>e</tex> заменяем двумя ребрами <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Два полуребра, соответствующих <tex>e</tex>, заменяются четырьмя полуребрами: два существующих полуребра будут исходить из концов <tex>e</tex>, а два новых полуребра — из <tex>v</tex> (см. рисунок). Устанавливаем ссылки на близнецов для ребер <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Обновим ссылки на следующие полуребра для <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex>, пусть это будут <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>, соответственно. Не забудем установить полуребра <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex> в качестве предыдущих полуребер у <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>. Теперь обновим ссылки на полуребра, инцидентные вершине <tex>v</tex>. Для этого сначала при помощи порядка обхода определим, между какими полуребрами <tex>S_2</tex> находится <tex>e</tex>. Рассмотрим полуребро <tex>h_3</tex>: свяжем его с первым полуребром, видимым из <tex>h_4</tex> при обходе по часовой стрелке и исходящем из <tex>v</tex>. Полуребро <tex>h_4</tex> должно быть связано с первым полуребром, идущим в <tex>v</tex>, при обходе против часовой стрелки. Аналогично обработаем <tex>e''</tex>.
+
Рассмотрим один из случаев, остальные обрабатываются аналогично. Пусть ребро <tex>e</tex> из <tex>S_1</tex> пересекает вершину <tex>v</tex> из <tex>S_2</tex>. Ребро <tex>e</tex> заменяем двумя ребрами <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Два полуребра, соответствующих <tex>e</tex>, заменяются четырьмя полуребрами: два существующих полуребра будут исходить из концов <tex>e</tex>, а два новых полуребра — из <tex>v</tex> (см. рисунок). Устанавливаем ссылки на близнецов для ребер <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. Обновим ссылки на следующие полуребра для <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex>, пусть это будут <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>, соответственно. Не забудем установить полуребра <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex> в качестве предыдущих полуребер у <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>. Теперь обновим ссылки на полуребра, инцидентные вершине <tex>v</tex>. Для этого сначала при помощи порядка обхода определим, между какими полуребрами <tex>S_2</tex> находится <tex>e</tex>. Рассмотрим полуребро <tex>h_3</tex>: свяжем его с первым полуребром, видимым из <tex>h_4</tex> при обходе по часовой стрелке и исходящем из <tex>v</tex>. Полуребро <tex>h_4</tex> должно быть связано с первым полуребром, идущим в <tex>v</tex>, при обходе против часовой стрелки. Аналогично обработаем <tex>e''</tex>.
 
{| cellpadding="3"
 
{| cellpadding="3"
|[[Файл:PSLG_edge_vertex_w.png|x180px|center|thumb|Пересечение вершины <tex>v</tex> и ребра <tex>e</tex>]]
+
|[[Файл:PSLG_edge_vertex.png|500px|center|thumb|Пересечение вершины <tex>v</tex> и ребра <tex>e</tex>]]
|[[Файл:PSLG_edge_vertex2_w.png|x180px|center|thumb|Модификация полуребер]]
+
|[[Файл:PSLG_edge_vertex2.png|150px|center|thumb|Модификация полуребер]]
 
|}
 
|}
 
==== Время работы ====
 
==== Время работы ====
Большинство шагов алгоритма работают константное время. Определение соседних полуребер с <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex> происходит за линейное время от степени вершины. Следовательно, обновление РСДС не увеличивает время работы алгоритма пересечения отрезков, поэтому сведения о вершинах и полуребрах для итогового РСДС могут быть вычислены за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>n</tex> — сумма сложностей <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, <tex>k</tex> — количество точек пересечения.
+
Большинство шагов алгоритма требуют константное время. Определение соседних полуребер с <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex> происходит за линейное время от степени вершины. Следовательно, обновление РСДС не увеличивает время работы алгоритма пересечения отрезков, поэтому сведения о вершинах и полуребрах для итогового РСДС могут быть вычислены за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>n</tex> — сумма сложности <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, <tex>k</tex> — сложность пересечения.
  
 
=== Грани ===
 
=== Грани ===
[[Файл:PSLG_left_vertex_w.png|250px|right|thumb|Поиск внешних границ и дырок. Вершины <tex>v</tex> и <tex>u</tex> – левые вершины циклов. Для полуребер <tex>h_1</tex> и <tex>h_2</tex> грань <tex>f</tex> является внутренней, для полуребер <tex>h_3</tex> и <tex>h_4</tex> – внешней.]]
+
[[Файл:PSLG_left_vertex.png|200px|right|thumb|Поиск внешних границ и дырок]]
Необходимо получить информацию о гранях итогового РСДС: ссылка на полуребро внешней границы, список ссылок на полуребра дырок внутри грани, ссылка на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие новую грань. Также необходимо для полуребер установить ссылки на инцидентную грань.
+
Необходимо получить информацию о гранях итогового РСДС: ссылка на полуребро внешней границы, список ссылкок на полуребра дырок внутри грани, ссылка на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие новую грань. Также необходимо для полуребер установить ссылки на инцидентную грань.
У каждой грани существует уникальная внешняя граница, поэтому количество граней будет на единицу больше, чем количество внешних границ (дополнительная граница ограничивает весь ППЛГ). Таким образом, каждой грани можно ставить в соответствие внешнюю границу данной грани (кроме внешней грани ППЛГ, для нее мы введем мнимую внешнюю границу). Следовательно, необходимо обойти все внешние границы ППЛГ и создать грань для каждой границы. Для того, чтобы определить, является цикл внешней границей или дыркой, рассмотрим самую левую вершину цикла <tex>v</tex> (определяется обходом по циклу). Напомним, что полуребра ориентированы так, что инцидентная им грань лежит левее полуребра. С учетом этого, оценим угол внутри грани между полуребрами, инцидентными <tex>v</tex>. Если угол меньше <tex>180^\circ</tex>, то цикл является внешней границей грани, в противном случае – лежит внутри грани. Данное свойство выполняется для вершины <tex>v</tex>, но может не выполняться для остальных вершин.
+
Количество граней будет на единицу больше, чем количество внешних границ (дополнительная грань ограничивает весь ППЛГ). Для того, чтобы определить, является цикл внешней границей или дыркой, рассмотрим самую левую вершину цикла <tex>v</tex> (нижнюю из левых, в случае равенства). Напомним, что полуребра ориентированы так, что инцидентная им грань лежит левее полуребра. С учетом этого, оценим угол внутри грани между полуребрами, инцидентными <tex>v</tex>. Если угол меньше <tex>180^\circ</tex>, то цикл является внешней границей, в противном случае – дыркой. Данное свойство выполняется для вершины <tex>v</tex>, но может не выполняться для остальных вершин.
  
Для определения того, какие границы принадлежат одной грани, построим вспомогательный граф <tex>G</tex>, в котором каждая граница является вершиной. Также добавим вершину для мнимой границы внешней грани. Между двумя вершинами графа, соответствующим двум циклам РСДС, существует ребро тогда и только тогда, когда один цикл является границей дырки, а второй цикл является ближайшим слева к самой левой вершине первого цикла. Если левее самой левой вершины цикла нет полуребер, то соединим этот цикл с мнимой границей внешней грани ППЛГ.
+
Для определения того, какие границы принадлежат одной грани, постоим вспомогательный граф <tex>G</tex>, в котором каждая граница является вершиной. Также добавим вершину для мнимой границы внешней грани. Между двумя циклами (вершинами графа) существует ребро тогда и только тогда, когда один цикл является границей дырки, а второй цикл является ближайшим слева к самой левой вершине первого цикла. Если левее самой левой вершины цикла нет полуребер, то соединим этот цикл с мнимой границей внешней грани ППЛГ.
 
{| cellpadding="3"
 
{| cellpadding="3"
| [[Файл:PSLG_graph_w.png|400px|center|thumb|Построение графа <tex>G</tex>]]
+
| [[Файл:PSLG_graph.png|400px|center|thumb|Построение графа <tex>G</tex>]]
 
|}
 
|}
  
Строка 48: Строка 36:
 
|statement=Каждой компоненте связности графа <tex>G</tex> соответствует множество циклов, инцидентных только одной грани.
 
|statement=Каждой компоненте связности графа <tex>G</tex> соответствует множество циклов, инцидентных только одной грани.
 
|proof=Рассмотрим цикл <tex>C</tex>, ограничивающий дырку в грани <tex>f</tex>. Грань <tex>f</tex> лежит левее самой левой вершины <tex>C</tex>, поэтому <tex>C</tex> должен быть связан с другим циклом грани <tex>f</tex>. Следовательно, циклы одной компоненты связности графа <tex>G</tex> ограничивают одну и ту же грань.
 
|proof=Рассмотрим цикл <tex>C</tex>, ограничивающий дырку в грани <tex>f</tex>. Грань <tex>f</tex> лежит левее самой левой вершины <tex>C</tex>, поэтому <tex>C</tex> должен быть связан с другим циклом грани <tex>f</tex>. Следовательно, циклы одной компоненты связности графа <tex>G</tex> ограничивают одну и ту же грань.
Покажем, что каждый цикл, ограничивающий дырку грани <tex>f</tex>, находится в одной компоненте связности с внешней границей грани <tex>f</tex>. Предположим, что существует цикл, для которого это не выполняется. Пусть <tex>C</tex> – самый левый такой цикл, причем его левая вершина также самая левая. По определению, существует ребро между <tex>C</tex> и циклом <tex>C'</tex>, который лежит левее <tex>C</tex>. Следовательно, <tex>C'</tex> лежит в одной компоненте связности с <tex>C</tex>, причем <tex>C'</tex> не является внешней границей <tex>f</tex>. Получается, что <tex>C'</tex> лежит левее <tex>C</tex>, что противоречит определению <tex>C</tex>.  
+
Покажем, что каждый цикл, ограничивающий дырку грани <tex>f</tex>, находится в одной компоненте связности с внешней границей грани <tex>f</tex>. Предположим, что существует цикл, для которого это не выполняется. Пусть <tex>C</tex> – самый левый такой цикл, причем его левая вершина также самая левая. По определению, существует ребро между <tex>C</tex> и циклом <tex>C'</tex>, который лежит левее <tex>C</tex>. Следовательно, <tex>C'</tex> лежит в одной компоненте связности с <tex>C</tex>, но <tex>C</tex> не является внешней границей <tex>f</tex>f. Противоречие с определением <tex>C</tex>.  
 
}}
 
}}
  
 
==== Построение графа <tex>G</tex>====
 
==== Построение графа <tex>G</tex>====
Напомним, что в алгоритме заметающей прямой для пересечения отрезков мы искали ближайший отрезок, находящийся левее точки события. Эта информация необходима для построения графа <tex>G</tex>. Сначала создадим вершину для каждой границы. Далее необходимо построить ребра в графе, для этого найдем левую вершину каждой дырки и определим, какое ребро лежит слева от данной вершины. Для эффективности будем для каждого полуребра хранить ссылку на вершину графа, содержащую это полуребро. Таким образом, информация о гранях может быть восстановлена за время <tex>O(n + k)</tex>, после алгоритма заметающей прямой. Также заметим, что информацию о структуре графа можно хранить в записях граней.
+
Напомним, что в алгоритме заметающей прямой для пересечения отрезков мы искали ближайший отрезок, находящийся левее точки события. Эта информация необходима для построения графа <tex>G</tex>. Сначала создадим вершину для каждой границы. Далее необходимо построить ребра в графе, для этого найдем левую вершину каждой дырки и определим, какое ребро лежит слева от данной вершины. Для эффективности будем для каждого полуребра хранить ссылку на вершину графа, содержащую это полуребро. Таким образом, информация о гранях может быть восстановлена за время <tex>O(n + k)</tex>, после алгоритма заметающей прямой.
  
 
==== Маркировка граней ====
 
==== Маркировка граней ====
Строка 70: Строка 58:
 
== Общее время работы ==
 
== Общее время работы ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>S_1</tex> имеет сложность <tex>n_1</tex>, <tex>S_2</tex> имеет сложность <tex>n_2</tex>, <tex>n = n_1 + n_2</tex>. Пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> может быть построено за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>k</tex> – количество точек пересечения <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>.
+
|statement=Пусть <tex>S_1</tex> имеет сложность <tex>n_1</tex>, <tex>S_2</tex> имеет сложность <tex>n_2</tex>, <tex>n = n_1 + n_2</tex>. Пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> может быть построено за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>k</tex> – сложность пересечения.
 
|proof=Копирование двух РСДС в один занимает <tex>O(n)</tex> времени, заметающая прямая работает <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex> времени по лемме. Создание граней работает линейное время от сложности <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Маркировка граней РСДС работает за <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>.
 
|proof=Копирование двух РСДС в один занимает <tex>O(n)</tex> времени, заметающая прямая работает <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex> времени по лемме. Создание граней работает линейное время от сложности <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Маркировка граней РСДС работает за <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 78: Строка 66:
 
*[[Пересечение множества отрезков]]
 
*[[Пересечение множества отрезков]]
  
== Источники информации ==
+
== Источники ==
 
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 33-39
 
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 33-39
  
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 
[[Категория: ППЛГ и РСДС]]
 
[[Категория: ППЛГ и РСДС]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: