Редактирование: Пересечение окружностей

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:circles.png‎|450px|thumb|Пересечение окружностей]]Заданы две окружности разного радиуса точками центров <tex>(x_0;y_0)</tex>, <tex>(x_1;y_1)</tex> и радиусами <tex>r_0</tex> и <tex>r_1</tex> соответственно.
+
Заданы две окружности разного радиуса точками центров <tex>(x_0;y_0)</tex>, <tex>(x_1;y_1)</tex> и радиусами <tex>r_0</tex> и <tex>r_1</tex> соответственно.
Будем вычислять координаты искомых точек пересечения окружностей в новой системе координат, связанной с векторами <tex>\bar{a}</tex> и <tex>\bar{b}</tex>, которые изображены на рисунке. Искать соответственно будем в виду <tex>\alpha\bar{a}+\beta\bar{b}</tex>.
 
Для начала напишем, чему равен вектор <tex>\bar{a}=\begin{pmatrix}
 
x_1-x_0\\
 
y_1-y_0\\
 
\end{pmatrix}</tex>, вектор <tex>\bar{b}</tex> перпендикулярен <tex>\bar{a}</tex>, следовательно равен <tex>\bar{b}=\begin{pmatrix}
 
-y_1+y_0\\
 
x_1-x_0\\
 
\end{pmatrix}</tex>.
 
Коэффициенты <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> будем искать из системы уравнений <tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
(\alpha\bar{a}+\beta\bar{b})^2=r_0^2\\
 
(\alpha\bar{a}+\beta\bar{b}-\bar{a})^2=r_1^2\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
<tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
\alpha^2\bar{a}^2+\beta^2\bar{b}^2+2\alpha\beta\bar{a}\bar{b}=r_0^2\ \ \ (1)\\
 
((\alpha-1)\bar{a}+\beta\bar{b})^2=r_1^2\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
Заметим, что в уравнении <tex>(1)</tex> третье слагаемое в правой части равно <tex>0</tex>, т.к. векторы <tex>\bar{a}</tex> и <tex>\bar{b}</tex> перпендикулярны.<br>
 
<tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
\alpha^2\bar{a}^2+\beta^2\bar{b}^2=r_0^2\\
 
(\alpha-1)^2\bar{a}^2+\beta^2\bar{b}^2=r_1^2\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
<tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
2\alpha-1=\frac{r_0^2-r_1^2}{\bar{a}^2}\\
 
\beta^2\bar{b}^2=r_0^2-\alpha^2\bar{a}^2\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
<tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
\alpha=\frac{r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2}{2\bar{a}^2}\\
 
\beta^2\bar{b}^2=r_0^2-\alpha^2\bar{a}^2\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
<tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
\alpha=\frac{r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2}{2\bar{a}^2}\\
 
\beta^2=\frac{r_0^2-\frac{(r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2)^2}{4\bar{a}^4}\bar{a}^2}{\bar{b}^2}\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
<tex>\left\{\begin{array}{lrl}
 
\alpha=\frac{r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2}{2\bar{a}^2}\\
 
\beta=\pm\frac{1}{|\bar{a}||\bar{b}|}\sqrt{-\frac{1}{2}(r_0^4+r_1^4+\bar{a}^4-2r_0^2r_1^2-2r_1^2\bar{a}^2)}\\
 
\end{array}
 
\right.</tex><br>
 
Мы, например, будем рассматривать точку с положительным знаком <tex>\beta</tex>.
 
Радиус-вектор такой точки будет равен <tex>\bar{s_1}=\bar{c_0}+\alpha\bar{a}+\beta\bar{b}</tex>. Его <tex>x</tex> координата равна <tex>{s_1}_x=x_0+\alpha\bar{a}_x+\beta\bar{b}_x</tex>. <tex>\bar{a}_x=x_1-x_0</tex>, <tex>\bar{b}_x=y_0-y_1</tex>.
 
Допустим есть точка с <tex>x</tex> координатой равной <tex>x_c-r_c</tex> (точка вхождения некой окружности). Нам надо научиться сравнивать их для добавления в строку состояний.<br>
 
<tex>{s_1}_x>x_c-r_c</tex><br>
 
<tex>x_0+\alpha\bar{a}_x+\beta\bar{b}_x>x_c-r_c</tex><br>
 
<tex>\alpha(x_1-x_0)+\beta(y_0-y_1)>x_c-r_c-x_0</tex><br>
 
<tex>\frac{r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2}{2\bar{a}^2}(x_1-x_0)+\frac{1}{|\bar{a}||\bar{b}|}\sqrt{-\frac{1}{2}(r_0^4+r_1^4+\bar{a}^4-2r_0^2r_1^2-2r_1^2\bar{a}^2)}(y_0-y_1)></tex><br>
 
<tex>>x_c-r_c-x_0\ \ \ (*2\bar{a}^2|\bar{b}|)</tex><br>
 
<tex>|\bar{b}|(r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2)(x_1-x_0)+2|\bar{a}|\sqrt{-\frac{1}{2}(r_0^4+r_1^4+\bar{a}^4-2r_0^2r_1^2-2r_1^2\bar{a}^2)}(y_0-y_1)></tex><br>
 
<tex>>2\bar{a}^2|\bar{b}|(x_c-r_c-x_0)</tex><br>
 
<tex>2|\bar{a}|\sqrt{-\frac{1}{2}(r_0^4+r_1^4+\bar{a}^4-2r_0^2r_1^2-2r_1^2\bar{a}^2)}(y_0-y_1)></tex><br>
 
<tex>>2\bar{a}^2|\bar{b}|(x_c-r_c-x_0)-|\bar{b}|(r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2)(x_1-x_0)</tex><br>
 
<tex>-2\bar{a}^2(r_0^4+r_1^4+\bar{a}^4-2r_0^2r_1^2-2r_1^2\bar{a}^2)(y_0-y_1)^2></tex><br>
 
<tex>>(2\bar{a}^2|\bar{b}|(x_c-r_c-x_0)-|\bar{b}|(r_0^2-r_1^2+\bar{a}^2)(x_1-x_0))^2</tex><br>
 
К сожалению, дальше упрощать ничего не получается :( Уже из этого выражения можно посчитать погрешность, так влоооом :(
 
 
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)