[[Файл:samplesHalfspaces.png|400px|thumb|right|Пересечение существует и выпукло, неограничено неограниченно или пусто]][[Файл:duality.png|400px|thumb|right|Пример отображения]]
== Предикат трех прямых ==Задача: есть конечное множество полуплоскотейполуплоскостей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.
Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть полуплоскость выпукла)
Рассмотрим отображение <tex> D </tex> между точками Пусть полуплоскости заданы уравнениями прямых и прямымиориентацией, такое что:с какой стороны от прямой лежит полуплоскость.
<tex> D(P(kСначала рассмотрим все полуплоскости, b)) = (Y = kX - b) </tex>которые "смотрят", то есть ориентированны, вниз. Аналогично можно рассмотреть все полуплоскости, которые ориентированны вверх.
{{Лемма|statement=[[Файл:halfSpaces.png|400px|thumb|right|Нужна ли полуплоскость <tex> Dl'' </tex>?]]Предикат проверки (Y см. рисунок) того, что прямая <tex> l'' : A''x + B''y + C'' = kX 0 </tex> лежит над пересечением прямых <tex> l : Ax + b) By + C = 0 </tex> и <tex> l' : A'x + B'y + C' = 0 </tex> равен знаку определителя <tex>\begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix}</tex>. |proof= PДля проверки предиката нужно определить знак выражения <tex> A''x_0 + B''y_0 + C'' </tex>, где <tex> (kx_0, y_0) </tex> {{---}} точка пересечения прямых <tex> l' </tex> и <tex> l </tex>. Эта точка находится из уравнения <tex> \begin{pmatrix} A & B\\ A' & B' \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -C\\ -C' \end{pmatrix}</tex>. Решением будет <tex>\begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} =\frac{\begin{pmatrix} B' & -B\\ -A' & A \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -C\\ -b) C' \end{pmatrix}}{ \begin{vmatrix} A & B\\ A' & B'\end{vmatrix}}</tex>. Подставим это решение в <tex> A''x_0 + B''y_0 + C'' </tex>и домножим на определитель.
Это отображение не рассматривает вертикальные прямые, поэтому их мы рассмотрим в конце отдельно.<tex>A'' \left<(B'; -B);(-C; -C')\right> + B'' \left<(-A'; A);(-C; -C')\right> + C'' \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} =</tex>
[[Файл:dual.png|400px|thumb|right|Совпадение верхнего CH и нижней огибающей]]Будем обозначать, что <tex> D(p) = p^* </tex>, <tex> D(l) A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} + C'' \begin{vmatrix} A & A' \\ B & B' \end{vmatrix} = l^* </tex>
Факт дуализма:* Точка <tex> p </tex> лежит под/на/над прямой <tex> l </tex> тогда и только тогда, когда <tex> D(l) </tex> лежит под/на/над прямой <tex> D(p) </tex>;Тогда точка <tex> p = A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} - C'' \begin{vmatrix} A' & A \\ B' & B \in P end{vmatrix} = \cup p_i begin{vmatrix} A'' & A' & A \\ B'' & B' & B \\ -C'' & -C' & -C \end{vmatrix} =</tex> принадлежит <tex> UH(P) </tex> тогда и только тогда, когда существует такая не вертикальная прямая <tex> l </tex>, что <tex> = \begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \forall i : p_i end{vmatrix} </tex> лежит под <tex> l </tex>.}}
Перефразируем для dual-пространства:* Существует точка Таким образом, если представить прямую <tex> l^* Ax + By + C = 0 </tex> на прямой как точку с однородными координатами <tex> p^* \in P^* : l^* </tex> лежит под любой прямой из <tex> P^*(A, B, C) </tex>, то этот предикат {{---}} всего лишь поворот, а проверка предиката {{---}} проверка очередной точки в [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull#Алгоритм Грэхема|обходе Грэхема]] для нахождения выпуклой оболочки.
Рассмортим верхний конвекс-халл точек <tex> P </tex> (англ. ''upper convex hull'') и нижнюю огибающей прямых <tex> P^Алгоритм:* </tex> (англ. ''lower envelope''). Точки в <tex> P </tex> появляются в <tex> UH(P) </tex> Отсортировать все полуплоскости по увелечению х-координаты. Прямые в <tex> P^углу наклона;* </tex> появляются в <tex> LEЗапустить обход Грэхема для полуплоскостей, смотрящих вниз (P^*) </tex> по уменьшению угла наклона. Так как угол наклона соответствует хс предикатом-координате, то список точек <tex> UH(Pопределителем) </tex> слева-направо соответствует списку справа-налево ребер <tex> LE(P^;*) </tex>. Таким образом верхний конвекс-халл соответствует нижней огибающей прямых. Аналогично Запустить обход Грэхема для нижнего СН и верхней огибающейполуплоскостей, смотрящих вверх;* Пересечь две цепочки.
Более формальноОт пересечения цепочек напрямую зависит фигура пересечения: точки <tex> pнеограниченная область получается если одна из цепочек пуста, q \in P : pq </tex> а ограниченная {{---}} ребро верхнего конвекс-халла тогда и только тогда, когда все остальные точки из <tex> P </tex> лежат ниже прямой, проходящей через это ребро. В dual-пространстве получаем, что <tex> \forall r^*, r \in P \setminus \{p, q\} </tex> лежат над точкой пересечения <tex> p^* </tex> обе цепочки не пусты и <tex> q^* </tex>. Это как раз условие, что <tex> p^* \cap q^* </tex> {{---}} вершина <tex> LE(P^*) </tex>пересекаются.
Таким образом получаем == Связь пересечения полуплоскостей с выпуклой оболочкой == {{Лемма |id=1|statement= Пересечение полуплоскостей может быть получено построением выпуклой оболочки в [[двойственное пространство|двойственном прострастве]] для множества точек, являющихся дуальным преобразованием исходных полуплоскостей|proof= [[Файл:DualSpaceCH.png |400px|thumb|right| Множество точек в двойственном пространстве]][[Файл:DualSpaceCH400.png |400px|thumb|right| Множество прямых в исходном пространстве]] '''Важно:''' Покажем конструктивный алгоритмдля множестве полуплоскостей, не содержащих вертикальный полуплоскости. После леммы приведены два рассуждения, позволяющие снять данное ограничение. '''Важно:''' В картинке перепутаны <tex>P</tex> и <tex>P^\star</tex>. TODO* Считаем Рассмотрим планарный случай и предположим, что вертикальные и параллельные прямые отсутствуют (в конце приведем два способа решения данной проблемы). Пусть у нас есть множество ориентированных прямых, каждая из которых задает полуплоскость(направление вектора нормали задаёт нужную полуплоскость).Тогда каждую плоскость мы можем превратить в точку в двойственном пространстве: <tex> H_+ P(p_x, p_y) \Rightarrow P^\star (p_x x - p_y)</tex>. Далее воспользуемся основными свойствами дуальной трансформации (полуплоскостисм. доказательтсво в конспекте о [[двойственное пространство|двойственном прострастве]]):#<tex>p</tex> <tex>\in</tex> <tex>l</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>l^\star</tex> <tex>\in</tex> <tex>p^\star</tex>, где <tex>p</tex> - точка в исходном пространстве, <tex>l</tex> - прямая в исходном пространстве, <tex>l^\star</tex>, <tex>p^\star</tex> - их дуальное отображение.#<tex>p</tex> лежит "над" <tex>l</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>l^\star</tex> лежит "над" <tex>p^\star</tex> '''Важно 2:''' * <tex>p^\star</tex> - точка в двойственном пространстве, <tex>p</tex> - линия в исходном, смотрящие вверх)* Считаем <tex> H_l^\star</tex> - прямая в двойственном пространстве, <tex>l</tex>- точка в исходном,* Значок <tex>*</tex> означает, что элемент из двойственного пространства.Рассмотрим множество точек(<tex>P^\star</tex>) в двойственном пространстве и рассмотрим верхнюю часть выпуклой оболочки, построенной на этих точках. Обозначим её за <tex>\mathcal{UH}</tex>(Upper hull). Далее мы будем работать только с прямыми(полуплоскостив исходном пространстве), смотрящие у которых вектор нормали направлен вниз, т.е они образовывают верхнюю цепочку.По свойству выпуклой оболочки, любое ребро из цепи <tex>\mathcal{UH}</tex> содержит "ниже" себя все точки множества <tex>P^\star</tex>, а так же эта цепь соединяет самую правую точку с самой левой. Рассмотрим какую-то точку <tex>p^\star \in P^\star</tex> и заметим, что она будет принадлежать цепи <tex>\mathcal{UH}</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\exists</tex> прямая <tex>l^\star </tex> : <tex>p^\star \in l^\star</tex> и все точки из <tex>P^\star</tex> лежат ниже <tex>l^\star</tex> (сейчаc мы жили в двойственном пространстве). В обычном пространстве данный факт эквивалентен следующему: * Считаем Дуальное отображение точки <tex> H_p^\star</tex> в базовое пространство {{---}} прямая <tex>p</tex>, которая по ''первому свойству'' содержит точку <tex>l</tex>(в базовом пространстве прямая <tex>p^\star</tex> перешла в точку <tex>p</tex>). *Так как прямая <tex>l^\star</tex> лежит выше всех точек, то теперь каждая прямая из <tex>P</tex> лежит выше точки <tex>l</tex> (вертикальные полуплоскостипо свойству 2). Итого: у нас есть точка <tex>l</tex> на прямой <tex>p</tex>, лежащая ниже всех остальных прямых из <tex>P</tex>. Посмотрим на планарный граф множества(рис.2) прямых. Из факта выше, мы можем понять, что <tex>p</tex> внесла ребро в самый нижний фейс(именно тот, который задаёт часть пересечения полуплоскостей). Обозначим цепочку данного фейса, как <tex>\mathcal{LE}</tex>. Математически данную цепочку мы можем описать, смотрящие направокак минимум из всех линейных функция (заданные прямыми)в <tex>P</tex>. Так же <tex>X</tex> компонента узлов этой цепочки монотонно возрастает.* Считаем Вернемся к <tex>\mathcal{UH}</tex> и заметим, что при обходе цепи, координата <tex>X</tex> H_точек растет. Если же мы будет обходить цепочку из < tex>P</tex>, образующую пересечение полуплоскостей, мы заметим, что наклон прямых уменьшается. Учитывая этот факт, и то что наклон линии из <tex>\mathcal{LE}</tex> совпадет с <tex>X</tex> координатой точки (вертикальные полуплоскостивспоминаем отображение и применяем производную), можно сделать вывод, что обход слева направо точек из цепи <tex>\mathcal{UH}</tex>, смотрящие совпадает с обходом точек из <tex>\mathcal{LE}</tex> справа налево. (Обе линии монотоны, одна возрастает, другая убывает. Количество точек в массиве одинаковое, при это каждая точка из <tex>\mathcal{UH}</tex> внесла вклад в <tex>\mathcal{LE}</tex>)* Пускаем заметающую вертикальную прямую Напоследок, cоседние точки <tex>p^\star</tex> и получаем пересечение <tex> H_+ q^\star</tex> из <tex>P^\cap H_star</tex> образуют какое-то или принадлежат какому- то ребру <tex>\mathcal{UH}</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> все точки из <tex>P^\star</tex> лежат "ниже" линии, построенной на точках <tex>p^\cap H_star</tex> и <tex> q^\cap H_star</tex>. В исходном пространстве это означает: все прямые из пространства <tex>P</tex> за исключением прямых <tex>p< /tex> и <tex>q</tex>Стоит уточнитьлежат над пересечением <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Это достаточное условие, что каждое из этих множеств может быть пустопересечение <tex>p</tex> и <tex>q</tex> <tex>\in</tex> <tex>\mathcal{LE}</tex>. Таким образом мы построили верхнее пересечение полуплоскостей. Тогда Аналогичным образом строится нижнее, затем мы не рассматриваем пересекаем полученные две цепочки.}}Что же делать с ним объединениевертикальными линиями?# Найдем все вертикальным прямые за <tex>O(N)</tex>. Однако в результате мы можем получить пустое множествоВозьмем самую правую, у которой нормаль смотрит вправо, и самую левую, у которых нормаль смотрит влево. Это главное отличние пересечения полуплоскостей Построим верхнюю цепь и нижнюю цепь без всех вертикальных прямых, затем пересечем верхнюю цепь, нижнюю цепь, самую правую и конвекс-халласамую левую вертикальную прямую.# Перейдем в однородное двойственное пространство.
== Источники ==
* http://wwwisg.cs.uni-magdeburg.de/ag/lehre/SS2012/GAG/slides/V12.pdf
* Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd edition), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77973-5 Chapter 11 page 253-254
* http://wwwisg.cs.uni-magdeburg.de/ag/lehre/SS2012/GAG/slides/V12.pdf
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
