Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:dual.png|400px|thumb|right|типа это одно и то же]]
+
[[Файл:duality.png|400px|thumb|right|Пример отображения]]
  
 
Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.
 
Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.
Строка 5: Строка 5:
 
Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)
 
Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)
  
Рассмотри отображение <tex> D </tex> между точками и прямыми, такое что:
+
Рассмотрим отображение <tex> D </tex> между точками и прямыми, такое что:
  
 
<tex> D(P(k, b)) = (Y = kX - b) </tex>
 
<tex> D(P(k, b)) = (Y = kX - b) </tex>
Строка 13: Строка 13:
 
Обозначим <tex> L = \{l_1, l_2, ... , l_n\} </tex> {{---}} множество прямых.
 
Обозначим <tex> L = \{l_1, l_2, ... , l_n\} </tex> {{---}} множество прямых.
  
[[Файл:duality.png|400px|thumb|right|Пример отображения]]
+
[[Файл:dual.png|400px|thumb|right|Совпадение верхнего CH и нижней огибающей]]
 
Замечания:
 
Замечания:
 
* <tex> D(D(P)) = P </tex>
 
* <tex> D(D(P)) = P </tex>

Версия 18:34, 21 февраля 2014

Пример отображения

Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство — Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)

Рассмотрим отображение [math] D [/math] между точками и прямыми, такое что:

[math] D(P(k, b)) = (Y = kX - b) [/math]

[math] D(Y = kX + b) = P(k, -b) [/math]

Обозначим [math] L = \{l_1, l_2, ... , l_n\} [/math] — множество прямых.

Совпадение верхнего CH и нижней огибающей

Замечания:

  • [math] D(D(P)) = P [/math]
  • Точка [math] p [/math] лежит на прямой [math] l_i [/math] тогда и только тогда, когда [math] D(l_i) [/math] лежит на прямой [math] D(p) [/math];
  • Прямая [math] l_i [/math] лежит на границе пересечения тогда и только тогда, когда [math] D(l_i) [/math] — экстремальная точка [math] D(L) [/math];
  • Точка [math] l_i [/math] вершина пересечения прямых [math] l_i [/math] и [math] l_j [/math] тогда и только тогда, когда [math] l(D(l_i), D(l_j)) [/math] —опорное ребро конвекс халла [math] CH(D(L)) [/math];
  • Точка [math] l_i [/math] — не экстемальная точка [math] D(L) [/math] тогда и только тогда, когда удаление [math] h_i [/math] не повлияет на пересечение.

Таким образом получаем:

  • Взаимно однозначное соответствие между вершинами [math] CH(D(L)) [/math] и границами пересечения [math] \cap_{i=1}^{n}(l_i) [/math];
  • Порядок точек в [math] CH(D(L)) [/math] совпадает с порядком прямых в пересечении.

Источники