Периодичность цепных дробей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде <tex>\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}</tex>. Назовём это видом Х.
 
Число <tex>\alpha</tex> представимо в виде <tex>\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}</tex>. Назовём это видом Х.
  
Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha]</tex>. Заметим, что <tex>\alpha_1>1</tex>. Преобразуем: <tex>\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}</tex>. Заметим, что <tex>(a-qc)^2-D\vdots c</tex>, значит <tex>\alpha_1</tex> представима в виде Х. Докажем, что <tex>\alpha_1</tex> приведённая. <tex>\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}</tex>. Но <tex>\overline{\alpha}\in (-1;0), [alpha]>1</tex>, значит <tex>\overline{\alpha_1}\in(-1;0)</tex>.
+
Рассмотрим <tex>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha]</tex>. Заметим, что <tex>\alpha_1>1</tex>. Преобразуем: <tex>\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}</tex>. Заметим, что <tex>(a-qc)^2-D\vdots c</tex>, значит <tex>\alpha_1</tex> представима в виде Х. Докажем, что <tex>\alpha_1</tex> приведённая. <tex>\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}</tex>. Но <tex>\overline{\alpha}\in (-1;0), [\alpha]>1</tex>, значит <tex>\overline{\alpha_1}\in(-1;0)</tex>.
  
 
Посмотрим теперь на возможные значения <tex>a</tex> и <tex>c</tex>. <tex>\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrt{D}}{c}</tex>, откуда из возможных значения <tex>\alpha, \overline{\alpha}</tex>, следует <tex>c\in(0;2\sqrt{D})</tex>. Теперь ограничим a. <tex>\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}</tex>, отсюда <tex>a>0</tex>. <tex>\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrt{D}}{c}\Rightarrow a < \sqrt{D}</tex>.
 
Посмотрим теперь на возможные значения <tex>a</tex> и <tex>c</tex>. <tex>\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrt{D}}{c}</tex>, откуда из возможных значения <tex>\alpha, \overline{\alpha}</tex>, следует <tex>c\in(0;2\sqrt{D})</tex>. Теперь ограничим a. <tex>\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}</tex>, отсюда <tex>a>0</tex>. <tex>\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrt{D}}{c}\Rightarrow a < \sqrt{D}</tex>.

Версия 18:40, 2 июля 2010

Теорема:
Пусть [math]\alpha[/math] приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь периодична.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Число [math]\alpha[/math] представимо в виде [math]\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}[/math]. Назовём это видом Х.

Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha][/math]. Заметим, что [math]\alpha_1\gt 1[/math]. Преобразуем: [math]\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}[/math]. Заметим, что [math](a-qc)^2-D\vdots c[/math], значит [math]\alpha_1[/math] представима в виде Х. Докажем, что [math]\alpha_1[/math] приведённая. [math]\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}[/math]. Но [math]\overline{\alpha}\in (-1;0), [\alpha]\gt 1[/math], значит [math]\overline{\alpha_1}\in(-1;0)[/math].

Посмотрим теперь на возможные значения [math]a[/math] и [math]c[/math]. [math]\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrt{D}}{c}[/math], откуда из возможных значения [math]\alpha, \overline{\alpha}[/math], следует [math]c\in(0;2\sqrt{D})[/math]. Теперь ограничим a. [math]\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}[/math], отсюда [math]a\gt 0[/math]. [math]\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrt{D}}{c}\Rightarrow a \lt \sqrt{D}[/math].

Количество [math]a,c[/math] конечно, а количество[math]\alpha_n[/math] неограниченно. Значит в какой-то момент у нас зациклятся [math]\alpha_n[/math] и цепная дробь станет периодичной.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\alpha[/math] приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь чисто периодична.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем аналогичное утверждение [math]\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}[/math].

Введём [math]\beta_i=-\frac{1}{(\overline{\alpha_i})}\in(1;+\infty) \Rightarrow \alpha_i=-\frac{1}{(\overline{\beta_i})}[/math].

[math]\alpha_n=a_n+\frac{1}{\alpha_{n+1}}[/math] отсюда [math]-\frac{1}{(\overline{\beta_n})}=a_n-\overline{\beta_{n+1}}\Rightarrow\overline{\beta_{n+1}}=a_n+\frac{1}{(\overline{\beta_n})}[/math]. Получаем, что [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}\Rightarrow[\beta_{n+1}]=a_n[/math]

Осталось только записать переходы [math]\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\beta_n=\beta_m\Rightarrow a_{n-1}=a_{m-1}\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}[/math]
[math]\triangleleft[/math]