Редактирование: Погрешность предиката левый поворот

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{в разработке}}
 
{{в разработке}}
Пусть две точки <tex>a(a_x, a_y), b(b_x, b_y)</tex> заданы абсолютно точно, а точка <tex> c </tex> задана как точка внешнего касания двух окружностей <tex>(o_1(x_1, y_1), r_1)</tex> и <tex>(o_2(x_2, y_2), r_2).</tex>
+
hello
 
 
<tex>\overrightarrow{o_1c} = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot \overrightarrow{o_1o_2}, \\
 
\overrightarrow{o_1o_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \\
 
c_x = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot (x_2 - x_1) + x_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot x_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot x_1\\
 
c_y = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot (y_2 - y_1) + y_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot y_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot y_1</tex>
 
 
 
Обозначим
 
 
 
<tex> v = (b - a) \times (c - a) = \\
 
= (b_x - a_x) (\frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot y_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot y_1 - a_y) - \\
 
- (b_y - a_y) (\frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot x_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot x_1 - a_x) = \\</tex>
 
 
 
<tex dpi = 140> = \frac{(b_x - a_x) (r_1 y_2 + r_2 y_1 - a_y (r_1 + r_2)) - (b_y - a_y) (r_1 x_2 + r_2 x_1 - a_x (r_1 + r_2))}{r_1 + r_2}</tex>.
 
 
 
Так как <tex> r_1 + r_2 > 0, </tex> то мы можем оценивать знак выражения <tex>k = v \cdot (r_1 + r_2)</tex>
 
 
 
<tex>k = (b_x - a_x) (r_1 (y_2 - a_y) + r_2 (y_1 - a_y)) - (b_y - a_y) (r_1 (x_2 - a_x) + r_2 (x_1 - a_x)) = \\
 
= (b_x - a_x) r_1 (y_2 - a_y) + (b_x - a_x) r_2 (y_1 - a_y) - \\
 
- (b_y - a_y) r_1 (x_2 - a_x) - (b_y - a_y) r_2 (x_1 - a_x)</tex>
 
 
 
Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике.
 
Для сокращения обозначим произведение <tex>(1 + \delta_{p_1}) \cdot (1 + \delta_{p_2}) \cdot \ldots \cdot (1 + \delta_{p_n})</tex> за
 
<tex>F(p_1, p_2, \ldots , p_n)</tex>
 
 
 
<tex>\tilde{k} = (b_x \ominus a_x) \otimes (r_1 \otimes (y_2 \ominus a_y) \oplus r_2 \otimes (y_1 \ominus a_y)) \ominus \\
 
        \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (r_1 \otimes (x_2 \ominus a_x) \oplus r_2 \otimes (x_1 \ominus a_x)) = \\
 
= [(b_x - a_x) (r_1 (y_2 - a_y)F(1, 2) + r_2 (y_1 - a_y)F(3, 4))F(5, 6, 7) - \\
 
- (b_y - a_y) (r_1 (x_2 - a_x)F(8, 9) + r_2 (x_1 - a_x)F(10, 11))F(12, 13, 14)]F(15) = \\
 
= (b_x - a_x) r_1 (y_2 - a_y)F(1, 2, 5, 6, 7, 15) + \\
 
+ (b_x - a_x) r_2 (y_1 - a_y)F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - \\
 
- (b_y - a_y) r_1 (x_2 - a_x)F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - \\
 
- (b_y - a_y) r_2 (x_1 - a_x)F(10, 11, 12, 13, 14, 15)
 
</tex>
 
 
 
 
 
<tex> |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex>
 
 
 
Заметим, что <tex> k\approx \tilde{k} </tex>
 
 
 
Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon = |k - \tilde{k}|. </tex>
 
 
 
<tex> |k - \tilde{k}| = \\
 
=|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) + \\
 
+ r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) - \\
 
- r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) - \\
 
- r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) - \\
 
- r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) \cdot F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - \\
 
- r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) \cdot F(3, 4, 5, 6, 7, 15) + \\
 
+ r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) \cdot F(8, 9, 12, 13, 14, 15) + \\
 
+ r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) \cdot F(10, 11, 12, 13, 14, 15)| = \\
 
= |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) \cdot (F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - 1) - \\
 
- r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) \cdot (F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - 1) + \\
 
+ r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) \cdot (F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - 1) + \\
 
+ r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) \cdot (F(10, 11, 12, 13, 14, 15) - 1)| \leq \\
 
\leq |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| \cdot |(F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - 1)| + \\
 
+ |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| \cdot |(F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - 1)| + \\
 
+ |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| \cdot |(F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - 1)| + \\
 
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)| \cdot |(F(10, 11, 12, 13, 14, 15) - 1)|</tex>
 
 
 
Теперь раскрываем скобки во всех <tex>F</tex>, сокращаем единицы. Пользуемся свойством, что <tex>|\sum{p_i}| \leq \sum{|p_i|}</tex>,
 
потом вспоминаем, что <tex> |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex>.
 
Получаем следующее:
 
 
 
<tex> |k - \tilde{k}| \leq \\
 
\leq |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) + \\
 
+ |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) + \\
 
+ |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) + \\
 
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)| \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6) = \\
 
= (|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| + |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| + |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| + \\
 
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)|) \cdot
 
(6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6)</tex>
 
 
 
Пусть
 
 
 
<tex> t = (|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| + |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| + |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| + \\
 
+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)|).</tex>
 
 
 
Получаем, что
 
 
 
<tex> \epsilon = |k - \tilde{k}| \leq t \cdot (6\varepsilon_m + 15\varepsilon_m^2 + 20\varepsilon_m^3 + 15\varepsilon_m^4 + 6\varepsilon_m^5 + \varepsilon_m^6). </tex>
 
 
 
Итого:
 
 
 
<tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^6} = \tilde{t} (1 + 6 \varepsilon_m + 21 \varepsilon_m^2 + 56 \varepsilon_m^3 + \ldots) </tex>
 
 
 
<tex> \epsilon = |k - \tilde{k}| \leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 +  6 \varepsilon_m + 21 \varepsilon_m^2 + \ldots) (6 \varepsilon_m + 15 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \ldots) </tex>
 
 
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: