Подгруппа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
 
|item1=Необходимо привести примеры групп и их подгрупп (примеров надо несколько, так как подгруппа это очень важное понятие). (исправлено)
 
|item2=Так же сюда, видимо, стоит перенести статью про нормальные подгруппы и тут же привести примеры нормальных и не нормальных подгрупп.(исправлено)
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 20: Строка 15:
  
 
== Нормальные подгруппы ==
 
== Нормальные подгруппы ==
 +
{{Main|нормальная подгруппа}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <tex>x\in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>. Т.е.:
+
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>
<tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>
 
 
}}
 
}}
=== Примеры ===
 
* примером нормальной подгруппы могут служить любая подгруппа любой [[Абелева группа|абелевой группы]]
 
* примером не нормальной подгруппы может служить подгруппа p<tex>=\{1</tex>, <tex>(2</tex> <tex>3)\}</tex> всех перестановок группы X<tex>=\{1</tex> <tex>2</tex> <tex>3\}</tex>
 
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:06, 4 сентября 2022

Определение:
Если непустое подмножество [math]H[/math] элементов группы [math]G[/math] оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то [math]H[/math] образует группу и называется подгруппой группы [math]G[/math]:
[math]\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H[/math]
[math]\forall a\in H : a^{-1}\in H[/math]
[math]\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H[/math]


Примеры

  • Подмножество [math]n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math] для любого [math]n\in\mathbb{N}[/math] относительно операции сложения.
  • Группа [math]G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\[/math], [math]m[/math] [math]mod[/math] [math]5=0\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math].

Свойства

Нормальные подгруппы

Основная статья: нормальная подгруппа
Определение:
Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если [math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math]