Покрытие рёбер графа путями — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
Следующее утверждение являются следствием из [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|критерия Эйлеровости]] [[Основные определения теории графов|графа]]:
 
Следующее утверждение являются следствием из [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|критерия Эйлеровости]] [[Основные определения теории графов|графа]]:
 
{{Теорема|statement=
 
{{Теорема|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечётную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество рёбер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|рёберно-простыми]] путями.
+
Пусть <tex>G</tex> {{---}} связный граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечётную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество рёбер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|рёберно-простыми]] путями.
 
|proof=
 
|proof=
  
Рассмотрим граф <tex>G,</tex> который содержит <tex>2N</tex> вершин, имеющих нечётную степень. Докажем, что его можно покрыть <tex>N</tex> рёберно-простыми путями.  
+
Рассмотрим связный граф <tex>G,</tex> который содержит <tex>2N</tex> вершин, имеющих нечётную степень. Докажем, что его можно покрыть <tex>N</tex> рёберно-простыми путями.  
  
Соединим попарно вершины, имеющие нечётные степени, и получим связный граф <tex>G',</tex> все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет [[Эйлеровость_графов#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D1.8D.D0.B9.D0.BB.D0.B5.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|критерию эйлеровости]] и содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него <tex>N</tex> добавленных ребер <tex>G' \backslash G.</tex> Цикл распадётся на <tex>N</tex> путей, которые являются простыми, так как рассматриваемый цикл эйлеров, и покрывают весь граф, поэтому полученное разбиение является искомым.
+
Добавим в граф <tex>N</tex> рёбер, соединив попарно вершины, имеющие нечётные степени, и получим связный граф <tex>G',</tex> все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет [[Эйлеровость_графов#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D1.8D.D0.B9.D0.BB.D0.B5.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|критерию эйлеровости]] и содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него <tex>N</tex> добавленных ребер <tex>G' \backslash G.</tex> Цикл распадётся на <tex>N</tex> путей, которые являются простыми, так как рассматриваемый цикл эйлеров, и покрывают весь граф, поэтому полученное разбиение является искомым.
 
}}
 
}}
  

Текущая версия на 19:35, 4 сентября 2022

Следующее утверждение являются следствием из критерия Эйлеровости графа:

Теорема:
Пусть [math]G[/math] — связный граф, в котором [math]2N[/math] вершин имеют нечётную степень. Тогда множество рёбер [math]G[/math] можно покрыть [math]N[/math] рёберно-простыми путями.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим связный граф [math]G,[/math] который содержит [math]2N[/math] вершин, имеющих нечётную степень. Докажем, что его можно покрыть [math]N[/math] рёберно-простыми путями.

Добавим в граф [math]N[/math] рёбер, соединив попарно вершины, имеющие нечётные степени, и получим связный граф [math]G',[/math] все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет критерию эйлеровости и содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него [math]N[/math] добавленных ребер [math]G' \backslash G.[/math] Цикл распадётся на [math]N[/math] путей, которые являются простыми, так как рассматриваемый цикл эйлеров, и покрывают весь граф, поэтому полученное разбиение является искомым.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6