Редактирование: Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций

== Полные системы функций ==
{{Определение
|definition=
Если любая [[Определение булевой функции|булева функция]], являющаяся [[Суперпозиции|суперпозицией]] функций некоторого множества, принадлежит этому множеству, то такое множество называют '''замкнутым''' (англ. ''closed set'').}}

{{Определение
|definition=
'''Замыканием''' (англ. ''сlosure'') множества функций называется минимальное по включению замкнутое подмножество всех функций, содержащее данное множество функций.}}

{{Определение
|id=def1
|definition=
Множество булевых функций называется '''полной системой''' (англ. ''complete set''), если замыкание этого множества совпадает с множеством всех функций.}} 

{{Определение
|definition=
Полная система функций называется '''безызбыточной''' (англ. ''irredundant functions''), если она перестает быть полной при исключении из неё любого элемента.
}}

Американский математик Эмиль Пост сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:
* функции, сохраняющие константу <Tex>T_0</Tex> и <Tex>T_1</Tex>,
* самодвойственныые функции <Tex>S</Tex>,
* монотонные функции <Tex>M</Tex>,
* линейные функции <Tex>L</Tex>.

== Замкнутые классы булевых функций ==
Класс функций сохраняющих ноль <tex>T_0</tex>. 
{{Определение
|id = save0
|definition=Говорят, что функция '''сохраняет ноль''', если <tex>f(0, 0, \ldots, 0) = 0</tex>.
}}


Класс функций сохраняющих единицу <tex>T_1</tex>. 
{{Определение
|id = save1
|definition=Говорят, что функция '''сохраняет единицу''', если <tex>f(1, 1, \ldots, 1) = 1</tex>.
}}


Класс самодвойственных функций <tex>S</tex>.
{{Определение
|id = selfDual
|definition=Говорят, что функция '''самодвойственна''' (англ. ''self-dual''), если <tex>f(\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n})=\overline{f(x_1,\ldots,x_n)}</tex>. Иными словами, функция называется самодвойственной, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения.
}}

Класс монотонных функций <tex>M</tex>.
{{Определение
|id = monotone
|definition=Говорят, что функция '''монотонна''' (англ. ''monotonic function'') , если <tex>\forall i (a_i \leqslant b_i) \Rightarrow f(a_1,\ldots,a_n)\leqslant f(b_1,\ldots,b_n)</tex>.
}}

Класс линейных функций <tex>L</tex>.
{{Определение
|id = linear
|definition=Говорят, что функция '''линейна''' (англ. ''linear function''), если существуют такие <tex>a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n</tex>, где <tex>a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n}</tex>, что для любых <tex>x_1, x_2, \ldots, x_n</tex> имеет место равенство:
:<tex>f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\ldots\oplus a_n\cdot x_n</tex>.
}}
Количество линейных функций от <tex>n</tex> переменных равно <tex>~2^{n+1}</tex>.

Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее [[Полином_Жегалкина|полиноме Жегалкина]] присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной. Построить полином Жегалкина можно с помощью [[Преобразование Мёбиуса для получения коэффициентов полинома Жегалкина|преобразования Мебиуса]].

== Формулировка и доказательство критерия Поста ==
{{
Теорема|statement=
Набор булевых функций <tex>K</tex> является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов <tex> S,M,L,T_0,T_1 </tex>, иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

|proof=

===== Необходимость. =====

Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора <tex>K</tex> входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а, значит, и замыкание набора входило бы в этот класс, и набор <tex>K</tex> не мог бы быть полным.

===== Достаточность. =====
Докажем, что если набор <tex>K</tex> не содержится полностью ни в одном из данных классов, то он является полным.
# Рассмотрим функцию, не сохраняющую ноль {{---}} <tex>f_0</tex> (то есть функцию, для которой <tex>f_0(0) = 1</tex>). Тогда <tex> f_0(1)</tex> может принимать два значения:
## <tex>f_0(1) = 1</tex>, тогда <tex>f_0(x, x, x, \ldots, x) = 1</tex>.
## <tex>f_0(1) = 0</tex>, тогда <tex>f_0(x, x, x, \ldots, x) = \neg x</tex>.
# Рассмотрим функцию, не сохраняющую один {{---}} <tex>f_1</tex> (то есть функцию, для которой <tex>f_1(1) = 0</tex>). Тогда <tex>f_1(0)</tex> может принимать два значения:
## <tex>f_1(0) = 0</tex>, тогда <tex>f_1(x, x, x, \ldots, x) = 0</tex>.
## <tex>f_1(0) = 1</tex>, тогда <tex>f_1(x, x, x, \ldots, x) = \lnot x</tex>.

''Таким образом, возможны четыре варианта:''

* Мы получили функцию <tex> \neg </tex>. 
Используем несамодвойственную функцию <tex>f_s</tex>. По определению, найдется такой вектор <tex>x_0</tex>, что <tex>f_s(x_0) = f_s(\lnot x_0)</tex>. Где <tex>x_0 = (x_{01}, x_{02}, \ldots, x_{0k})</tex>. 

Рассмотрим <tex>f_s(x^{x_{01}}, x^{x_{02}}, \ldots, x^{x_{0k}})</tex>, где либо <tex>x^{x_{0i}} = x</tex>, при <tex>x_{0i} = 1</tex>. Либо <tex>x^{x_{0i}} = \lnot x</tex>, при <tex>x_{0i}  = 0 </tex>. 
Нетрудно заметить, что <tex>f_s(0) = f_s(1) \Rightarrow f_s = \operatorname {const}</tex>.
Таким образом мы получили одну из констант.

*Мы получили <tex> \neg </tex> и <tex>0 \Rightarrow</tex> имеем константу, равную <tex>1</tex>, поскольку <tex>\lnot 0 = 1</tex>.
*Мы получили <tex> \neg </tex> и <tex>1  \Rightarrow</tex> имеем константу, равную <tex>0</tex>, поскольку <tex>\lnot 1 = 0</tex>.
*Мы получили <tex>1</tex> и <tex>0</tex>.

Рассмотрим немонотонную функцию <tex>f_m</tex>. Существуют такие <tex>x_1, x_2, \ldots, x_n</tex>, что <tex>f_m(x_1, x_2,  \ldots, x_{i-1},  0  , x_{i+1},  \ldots, x_n) = 1</tex>, <tex>f_m(x_1, x_2,  \ldots, x_{i-1},  1  , x_{i+1},  \ldots, x_n) = 0</tex>, зафиксируем все <tex>x_1, x_2,  \ldots, x_n</tex>, тогда <tex>f_m(x_1, x_2,  \ldots, x_{i-1}, x, x_{i+1},  \ldots, x_n)= \lnot x</tex>.

''В итоге имеем три функции:'' <tex> \neg </tex>, <tex>0</tex>, <tex>1</tex>.

Используем нелинейную функцию <tex>f_l</tex>. Среди нелинейных членов <tex>f_l</tex> (ее представления в виде [[Полином Жегалкина|полинома Жегалкина]]), выберем тот, в котором минимальное количество элементов. Все аргументы кроме двух в этом члене приравняем единице, оставшиеся два назовем <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex>. Все элементы, не входящие в данный член, примем равными нулю. 
Тогда эта функция будет представима в виде <tex>g_l = x_1 \land x_2 [ \oplus x_1] [\oplus x_2][ \oplus ~1]</tex>, где в квадратных скобках указаны члены, которые могут и не присутствовать (остальные слагаемые будут равны нулю, поскольку в них есть как минимум один аргумент, не входящий в выбранный член, так как в выбранном члене минимальное число элементов).

''Рассмотрим несколько вариантов:''

# Присутствует член <tex>\oplus ~1</tex>. Возьмем отрицание от <tex>g_l</tex> и член <tex>\oplus ~1</tex> исчезнет.
# Присутствуют три члена, без <tex>\oplus ~1</tex>: <tex>g_l= x_1 \land x_2 \oplus x_1 \oplus x_2</tex>. Составив таблицу истинности для этой функции нетрудно заметить, что она эквивалентна функции <tex> \vee </tex>.
# Присутствуют два члена, без <tex>\oplus ~1</tex>. Построив две таблицы истинности для двух различных вариантов, заметим, что в обоих случаях функция истинна только в одной точке, следовательно, СДНФ функции <tex>g_l</tex> будет состоять только из одного члена. Если это так, то не составляет труда выразить <tex> \wedge </tex> через <tex> \neg </tex> и <tex>g_l</tex>. Например, если функция <tex>g_l(x_1, x_2, \ldots, x_n)</tex> принимает истинное значение, когда аргументы c номерами <tex>i_1, i_2, \ldots, i_m</tex> ложны, а все остальные истины, то функцию <tex> \wedge </tex> можно выразить как <tex>g_l([\lnot]x_1, [\lnot]x_2, \ldots, [\lnot]x_n)</tex>, где <tex>\lnot</tex> ставится перед аргументами с номерами <tex>i_1, i_2, \ldots, i_m</tex>.
# Присутствует один член. Выразим <tex> \wedge </tex> через <tex> \neg </tex> и <tex>g_l</tex> аналогично пункту 3.

В итоге получим функцию<tex> \neg </tex>, а также либо функцию <tex> \wedge </tex>, либо функцию <tex> \vee </tex>. Поскольку функцию <tex> \wedge </tex> можно выразить через <tex> \vee </tex> и <tex> \neg </tex>, а функцию <tex> \vee </tex> через <tex> \wedge </tex> и <tex> \neg </tex>, то мы получили базис <tex> \wedge </tex>, <tex> \vee </tex>, <tex> \neg </tex>. Любую булеву функцию, не равную тождественному нулю, можно представить в форме [[СДНФ]], то есть выразить в данном базисе. Если же функция равна тождественному нулю, то ее можно представить в виде <tex>x \land \lnot x</tex>. 


''Значит, полученные функции образуют полную систему, поскольку с их помощью можно выразить любую булеву функцию. Из этого следует, что K {{---}} полная система функций, что и требовалось доказать.''
}}

== Примеры ==
Согласно критерию Поста система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов <tex>T_0</tex>, <tex>T_1</tex>, <tex>S</tex>, <tex>M</tex>, <tex>L</tex>.

В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать [[Определение_булевой_функции#.D0.91.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.80.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|штрих Шеффера]] или [[Определение_булевой_функции#.D0.91.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.80.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|стрелку Пирса]].

Широко известны такие полные системы булевых функций:
* <tex>\left\{\land,\lor,\neg\right\}</tex> (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание);
* <tex>\left\{\land,\oplus,1\right\}</tex> (конъюнкция, сложение по модулю два, константа один).
Первая система используется, например, для представления функций в виде [[СДНФ|дизъюнктивных]] и [[СКНФ|конъюнктивных нормальных форм]], вторая — для представления в виде [[Полином Жегалкина|полиномов Жегалкина]].

Первая из упоминавшихся выше полных систем безызбыточной не является, поскольку согласно законам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является безызбыточной — все три её элемента необходимы для полноты системы.

Теорема о максимальном числе функций в базисе: максимально возможное число булевых функций в базисе — четыре.

Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и, соответственно, о базисе этого класса. Например, систему <tex>\left\{\oplus,1\right\}</tex> можно назвать базисом класса линейных функций.

== См. также ==
* [[Определение_булевой_функции|Булевы функции]]
* [[Суперпозиции|Суперпозиции]]
* [[Полином_Жегалкина|Полином Жегалкина]]

== Источники информации ==

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0 Википедия — Критерий Поста]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BC%D0%BA%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%8B_%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9 Википедия — Замкнутые классы булевых функций]
* Образовательный сайт [http://mini-soft.ru/nstu/diskr/7_.php MiniSoft]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Post%27s_lattice Post's lattice]
* [http://www.mielt.ru/dir/cat14/subj266/file299/view1397.html Лекции по дискретной математике]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции]]