1632
правки
Изменения
м
Випишем Выпишем эти неравенства с <tex>n \in [N; m]</tex> и перемножим их:
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
Если <tex>a_n \geq 0</tex>, то ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^\inftya_n</tex> называют положительным.
}}
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> и <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex> {{---}} положительные ряды. Тогда:
# <tex>a_n \leq b_n</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\inftyb_k </tex> сходится <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.
# <tex>\frac{b_n}{a_n} \to q</tex>, <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \equiv \sum\limits_{k=1}^\infty b_k</tex>.
|proof=
Так как ряд <tex>\sum b_n</tex> сходится, то, по теореме Вейерштрасса, сумма <tex>b_k</tex> ограничена каким-то числом <tex>B</tex>. А тогда,
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k b_k \leq B</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.
2. <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex>, <tex>a_n \geq 0</tex>, <tex>b_n \geq 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>q > 0</tex>.
Подставим в определение предела <tex>\varepsilon = \frac q2</tex>: <tex>\exists N\ \forall n > N: \ q - \varepsilon < \frac{b_n}{a_n} < q + \varepsilon</tex>
}}
Применим этот критерий для исследования ряда <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty \frac1{n^p}</tex>, <tex>p > 0</tex>.
При <tex>p = 1</tex> получаем гармонический ряд.
<tex>a_n = \frac1{n^p}</tex> убывает.
<tex>2^na_{2^n} = 2^n \frac1{2^{np}} = \left(\frac1{2^{p - 1}}\right)^n</tex>.
<tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty 2^n a_{2^n} =</tex> <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty \left(\frac1{2^{p-1}}\right)^n =</tex> <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty q^n</tex>
По формуле суммы геометрицеской прогрессии,
Значит, (<tex>S_n</tex> сходится <tex>\iff</tex> <tex>q^{n + 1} \to 0</tex>) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>q \in (0; 1)</tex>.
В частности, гармончиеский гармонический ряд расходится.
== Сравнение ряда с геометрической прогрессией (признак Даламбера и радикальный признак Коши)==
На основе сравнения рядов можно получать принципы их сходимости, то есть теоремы, в которых формируется условие на поведение слагаемых ряда, гарантирующих его сходимость.
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} положительный ряд.
# Если <tex>\frac{a_{n + 1}}{a_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} q</tex>, то при <tex>q < 1</tex> ряд сходится, при <tex>q > 1</tex> ряд расходится, при <tex>q = 1</tex> возможны оба варианта.(признак ДаламераДаламбера)# Пусть <tex>\sqrt[n]{a_n} \xrightarrow[n \to \infty] {} q</tex>. Тогда выполняются такие же соотношения, что и в пункте 1.(Радикальный признак Коши)
|proof=
Будем руководствоваться тем, что поведение конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда.
1.1. <tex>q > < 1</tex>. <tex>\exists \varepsilon_0:\ q + \varepsilon_0 < 1</tex>
По определению предела <tex>\exists N\ \forall n > N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n}} < q + \varepsilon_0</tex>
<tex>\frac{a_{m + 1}}{a_N} < (q + \varepsilon_0)^{m - N + 1}</tex>.
<tex>q < 1:\ \exists N\ \forall n>N:\ \sqrt[n]{a_n} < q + \varepsilon_0 < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>a_n < (q + \varepsilon_0)^n</tex>.
Ряд мажорируется бесконечной убывающей прогресиейпрогресcией.
}}
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n f(k) \geq \int\limits_1^{n + 1} f(x) dx \geq \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} f(k)</tex>
Сходимость несобственного интеграла с полоэительной положительной функцией определяется теоремой Вейерштрасса о монотонности функции, всё сводится к ограниченности <tex>\int\limits_1^A f(x) dx</tex>, но по <tex>A</tex> они возрастают <tex>\Rightarrow</tex> всё сводится к ограниченности <tex>\int\limits_1^{n + 1}</tex>. Но установленное неравенство показывает, что их ограниченность равносильна ограниченности частичных сумм <tex>f(k)</tex>. Значит, ряд и интеграл равносходятся.
}}
Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{k n = 1}^\infty \frac1{n \ln n}</tex>. <tex>f(x) = \frac1{n x \ln nx}</tex>
<tex>\int f(x) - = \int \frac1{\ln n} d \ln x = \ln \ln x</tex>
Значит, по интегральному признаку Коши, даже добавление логарифма в знаменатель не помогло гармоническому ряду стать расходящимсясходящимся. И ничто ему не поможет!
