Получение номера по объекту — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
*d[i][j] - (количество комбинаторных объектов с префиксом от 1 до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>)
 
*d[i][j] - (количество комбинаторных объектов с префиксом от 1 до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>)
  
  '''function''' NumOfObjectsFunc(a: '''list <A>''')  
+
  '''function''' object2num(a: '''list <A>''')  
 
   numOfObject = 0                           
 
   numOfObject = 0                           
 
   '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                        ''// перебираем элементы комбинаторного объекта''
 
   '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                        ''// перебираем элементы комбинаторного объекта''
Строка 13: Строка 13:
 
         '''then''' numOfObject += d[i][j]
 
         '''then''' numOfObject += d[i][j]
 
   '''return''' numOfObject
 
   '''return''' numOfObject
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> - количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для битового вектора <tex>k=2</tex>: возможны только 0 и 1. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается.  
+
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> - количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2</tex>(возможны только 0 и 1). Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается.  
 
Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.
 
Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.
  
Строка 22: Строка 22:
 
*was[1..n] {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.
 
*was[1..n] {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.
  
  '''function''' NumOfPermutationFunc(a: '''list <A>''')
+
  '''function''' permutation2num(a: '''list <int>''')
 +
  numOfPermutation = 0
 
   '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                      ''// n - количество элементов в перестановке''
 
   '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                      ''// n - количество элементов в перестановке''
 
     '''for''' j = 1  '''to''' a[i] - 1 '''do'''            ''// перебираем элемент, лексикографически меньший нашего, который  может стоять на i-м месте  
 
     '''for''' j = 1  '''to''' a[i] - 1 '''do'''            ''// перебираем элемент, лексикографически меньший нашего, который  может стоять на i-м месте  
Строка 40: Строка 41:
 
*bitvector[1..n] {{---}} данный вектор.
 
*bitvector[1..n] {{---}} данный вектор.
  
  '''function''' NumOfBitvectorFunc(bitvector: '''Binary''')
+
  '''function''' bitvector2num(bitvector: '''list <int>''')
 +
  numOfBitvector = 0
 
   '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                                         
 
   '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                                         
 
     '''if''' bitvector[i] == 1   
 
     '''if''' bitvector[i] == 1   
         numOfBitvector += 2 ** (n - i)
+
         numOfBitvector += pow(2, n - i)
 
   '''return''' numOfBitvector   
 
   '''return''' numOfBitvector   
  
 +
== Скобочные последовательности ==
 +
*[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8#.D0.9F.D0.BE.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8 Получение номера правильной скобочной последоватеьности]
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
*[[Получение объекта по номеру|Получение объекта по номеру]]
 
*[[Получение объекта по номеру|Получение объекта по номеру]]

Версия 17:12, 20 декабря 2013

Описание алгоритма

Номер данного комбинаторного объекта равен количеству меньших в лексикографическом порядке комбинаторных объектов (нумерацию ведём с 0). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины [math]i[/math] совпадает, а [math]i+1[/math] элемент лексикографически меньше [math]i+1[/math]-го в данном объекте ([math]i = 0..n-1[/math]). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму

  • numOfObject — искомый номер комбинаторного объекта.
  • a[1..n] — данный комбинаторный обьект, состоящий из элементов множества [math]A[/math].
  • d[i][j] - (количество комбинаторных объектов с префиксом от 1 до [math]i-1[/math] равным данному и с [math]i[/math]-м элементом равным [math]j[/math])
function object2num(a: list <A>) 
  numOfObject = 0                          
  for i = 1 to n do                        // перебираем элементы комбинаторного объекта
    for j = 1 to a[i] - 1 do               // перебираем элементы, которые в лексикографическом порядке меньше  рассматриваемого 
      if элемент j можно поставить на i-e место
        then numOfObject += d[i][j]
  return numOfObject

Сложность алгоритма — [math]O(nk) [/math], где [math]k[/math] - количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора [math]k=2[/math](возможны только 0 и 1). Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.

Перестановки

Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера [math]n[/math].

  • P[1..n] — количество перестановок данного размера.
  • a[1..n] — данная перестановка.
  • was[1..n] — использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.
function permutation2num(a: list <int>)
  numOfPermutation = 0
  for i = 1 to n do                       // n - количество элементов в перестановке
    for j = 1  to a[i] - 1 do             // перебираем элемент, лексикографически меньший нашего, который  может стоять на i-м месте 
      if was[j] == false                    // если элемент j ранее не был использован
        then numOfPermutation += P[n - i]   // все перестановки с префиксом длиной i-1 равным нашему, и i-й элемент у которых  
                                              меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки               
    was[a[i]] = true                       // i-й элемент использован            
  return numOfPermutation

Данный алгоритм работает за [math]O(n ^ 2) [/math].

Битовые вектора

Рассмотрим алгоритм получения номера [math]i[/math] в лексикографическом порядке данного битового вектора размера [math]n[/math]. Количество битовых векторов длины [math]n[/math][math]2^n[/math]. На каждой позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск меньших элементов можно упростить до условия:

  • numOfBitvector — искомый номер вектора.
  • bitvector[1..n] — данный вектор.
function bitvector2num(bitvector: list <int>)
  numOfBitvector = 0
  for i = 1 to n do                                         
   if bitvector[i] == 1  
        numOfBitvector += pow(2, n - i)
  return numOfBitvector  

Скобочные последовательности

См. также

  • Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31