Получение объекта по номеру — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Пробельчик)
(не показаны 32 промежуточные версии 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Описание алгоритма ==
 
== Описание алгоритма ==
Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором, и так далее. Считаем, что мы нашли первые <tex>i</tex> элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером <tex>i+1</tex>, посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должени стоять на месте с номером <tex>i+1</tex>. Диапазоны номеров не пересекаются, значит, на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент, соответственно, это единственный элемент, который может стоять на этой позиции.
+
Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы нашли первые <tex>i</tex> элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером <tex>i+1</tex>, посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должен стоять на месте с номером <tex>i+1</tex>. Диапазоны номеров не пересекаются, значит на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент:
  
*В начале каждого шага '''numOfObject''' {{---}} номер комбинаторного объекта среди объектов с заданным префиксом.  
+
*в начале каждого шага <tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} номер нужного объекта среди тех, у которых префикс до <tex>i</tex>-го элемента лексикографически равен префиксу нашего объекта,
 +
*<tex>\mathtt{n}</tex> {{---}} количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины <tex>n</tex>),
 +
*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2</tex>, поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>.  Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с <tex>1</tex>.
 +
Комбинаторные объекты занумерованы с <tex>0</tex>. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма:
 +
'''function''' num2object(numOfObject: '''int'''):
 +
  '''for''' i = 1 '''to''' n                   
 +
    '''for''' j = 1 '''to''' k                     
 +
      '''if''' j-й элемент можно поставить на i-e место
 +
        '''if''' numOfObject >= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
 +
          numOfObject -= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
 +
        '''else'''
 +
          object[i] = j
 +
          break
 +
  '''return''' object
 +
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью.
 +
Приведем примеры получения некоторых [[Комбинаторные объекты|комбинаторных объектов]] по номеру.
  
*'''n''' {{---}} количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины <tex>n</tex>)
+
== Битовые вектора ==
 +
Рассмотрим алгоритм получения <tex>k</tex>-ого в лексикографическом порядке битового вектора размера <tex>n</tex>.
 +
При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на текущее место. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе. Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия:
  
*'''k''' {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2</tex> : возможны только 0 и 1. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с 1.
+
*<tex>\mathtt{bitvector[n]}</tex> {{---}} искомый битовый вектор,
  '''for''' i = 1 '''to''' n '''do'''                     
+
*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} номер искомого вектора среди всех битовых векторов,
   '''for''' j = 1 '''to''' k '''do'''                     
+
*<tex>\mathtt{pow(2, n)}</tex> {{---}} <tex>2^{n}</tex> количество битовых векторов длины <tex>n</tex>,
    '''if''' j-ый элемент можно поставить на i-e место '''{'''
+
  '''vector<int>''' num2bitvector(numOfBitvector: '''int'''):
      '''if''' numOfObject > (количество комбинаторных обектов с данным префиксом) '''{'''
+
   '''for''' i = 1 '''to''' n                                     
          numOfObject -= (количество комбинаторных обектов с данным префиксом)
+
    '''if''' numOfBitvector >= pow(2, (n - i))
      '''} else {'''
+
      numOfBitvector -= pow(2, (n - i))
          ans[i]=j       
+
      bitvector[i] = 1
          break
+
    '''else'''
      '''}'''
+
      bitvector[i] = 0   
    '''}'''
+
  '''return''' bitvector   
Несложно понять, что корректность алгоритма следует из его построения.
+
Данный алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, так как в случае битовых векторов <tex>k</tex> не зависит от <tex>n</tex>.  
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Хотя основную сложность при построении алгоритмов генерации комбинаторных объектов составляет именно вычисление количества комбинаторных объектов с заданным префиксом. Приведем примеры способов получения некоторых из [[Комбинаторные объекты|комбинаторных объектов]] по номеру.
+
Алгоритм эквивалентен переводу числа из десятичной системы в двоичную.
  
 
== Перестановки ==
 
== Перестановки ==
Рассмотрим алгоритм получения <tex>i</tex>-ой в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] перестановки размера <tex>n</tex>.
+
Рассмотрим алгоритм получения <tex>k</tex>-ой в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] перестановки размера <tex>n</tex>.
Заметим, что всем префиксом на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество перестановок не зависит от префикса) то есть можем просто посчитать "количество диапозонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за <tex>O(1) </tex>:
+
Заметим, что всем префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество всевозможных суффиксов зависит только от длины) то есть можем просто посчитать "количество диапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за <tex>O(1) </tex>:
  
*'''f[n]''' {{---}} количество перестановок размера <tex>n</tex>
+
*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} номер искомой последовательности,
 
+
*<tex>\mathtt{n!}</tex> {{---}} количество перестановок размера <tex>n</tex>,
*'''permutation[n]''' {{---}} искомая перестановка
+
*<tex>\mathtt{permutation[n]}</tex> {{---}} искомая перестановка,
 
+
*<tex>\mathtt{was[n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.
*'''was[n]''' {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке
+
На <tex>i</tex>-ом шаге:
 +
*<tex>\mathtt{alreadyWas}</tex> {{---}} сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером,
 +
*мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером <tex>alreadyWas + 1</tex>. Среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра <tex>j</tex>.
 +
На <tex>j</tex>-ом шаге:
 +
*<tex>\mathtt{curFree}</tex> {{---}} если элемент с номером <tex>j</tex> свободен, то он имеет номер curFree среди всех свободных элементов с <tex>1</tex> по <tex>j</tex>.
 +
'''list<int>''' num2permutation(k: '''int'''):
 +
  '''for''' i = 1 '''to''' n                             
 +
    alreadyWas = k / (n - i)!     
 +
    k %= (n - i)!
 +
    curFree = 0
 +
    '''for''' j = 1 '''to''' n 
 +
      '''if''' was[j] == ''false''
 +
        curFree++
 +
        '''if''' curFree == alreadyWas + 1
 +
          permutation[i] = j
 +
          was[j] = true
 +
  '''return''' permutation
  
На <tex>i</tex>-ом шаге:
+
Данный алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>, так как в случае перестановок <tex>n=k</tex>. Мы можем посчитать все <tex>\mathtt{n!}</tex> за <tex>O(n) </tex>. Асимптотику можно улучшить
 +
до <tex>O(n \log {n}) </tex>, если использовать структуры данных (например, [[Декартово дерево|декартово дерево]] по неявному ключу), которые позволяют искать <tex>i</tex>-й элемент множества и удалять элемент
 +
множества за <tex>O( \log {n}) </tex>.
  
*'''alreadyWas''' {{---}} сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером
+
== Сочетания ==
 +
На каждой итерации мы проверяем, входит ли число <tex>\mathtt{next}</tex> в искомое сочетание. Если мы хотим взять <tex>\mathtt{next}</tex>, то номер перестановки должен быть меньше, чем <tex dpi=140>\binom{n - 1}{k - 1}</tex>, так как потом надо будет выбрать <tex>k - 1</tex> элемент из <tex>n - 1</tex> доступных. Если нет, то будем считать, что <tex dpi=140>\binom{n - 1}{k - 1}</tex> перестановок, начинающихся с <tex>\mathtt{next}</tex>, мы пропустили. В обоих случаях рассмотрение текущего числа <tex>next</tex> мы заканчиваем и переходим к следующему числу.
 +
*<tex>\mathtt{choose}</tex> {{---}} искомое сочетание,
 +
*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,
  
*мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером '''alreadyWas''' + 1 среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра '''j'''
+
'''list<int>''' num2choose(n, k, m: '''int'''):
'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' '''{'''                              
+
  next = 1
  alreadyWas = (numOfPermutation - 1) div f[n-i]       
+
  '''while''' k > 0
  numOfPermutation = ((numOfPermutation - 1) mod f[n-i]) + 1
+
    '''if''' m < C[n - 1][k - 1]
  ans[i] = j (посчитаем за O(n))
+
      choose.push_back(next)
   теперь j-ый элемент занят (находится в нашем префиксе)
+
      k = k - 1
'''}'''
+
    '''else'''
Данный алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>, так как в случае перестановок <tex>n=k</tex>. Мы можем посчитать все '''f[n]''' за <tex>O(n) </tex>. Асимптотику можно улучшить
+
      m -= C[n - 1][k - 1]
до <tex>O(n \log {n}) </tex>, если использовать структуры данных, которые позволяют искать <tex>i</tex>-ый элемент множества и удалять элемент
+
     n = n - 1
множества за <tex>O( \log {n}) </tex>. Например декартово дерево по неявному ключу.
+
    next = next + 1
 +
   '''return''' choose
 +
Асимптотика приведенного алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, предподсчет <tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>
  
== Битовые вектора ==
 
Для некоторых комбинаторных объектов, например битовых векторов, можно привести явную [[Отображения|биекцию]] из множества номеров в множество объектов.
 
В данном случае битовым вектором для номера <tex>n</tex> {{---}} будет являться его двоичное представление, которое можно получить гораздо легче,
 
чем генерировать объект общим алгоритмом. Если не учитовать особенности представления натуральных числе в памяти компьютера, то битовый вектор можно получить из числа за <tex>O(\log{n}) </tex>, где n {{---}} номер вектора (<tex>\log{n}</tex> = длине битового вектора), простым переводом десятичного числа <tex>n</tex>  в двоичную систему счисления.
 
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
*[[Получение номера по объекту|Получение номера по объекту]]
 
*[[Получение номера по объекту|Получение номера по объекту]]
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31
+
*[[Получение_предыдущего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.8B.D0.B4.D1.83.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Получение предыдущего сочетания]]
 +
*[[Получение_следующего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.83.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Генерация следующего сочетания]]
 +
== Источники информации ==
 +
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31 - ISBN 5-94774-010-9
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Комбинаторика]]
 
[[Категория: Комбинаторика]]

Версия 00:34, 10 декабря 2020

Описание алгоритма

Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы нашли первые [math]i[/math] элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером [math]i+1[/math], посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должен стоять на месте с номером [math]i+1[/math]. Диапазоны номеров не пересекаются, значит на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент:

  • в начале каждого шага [math]\mathtt{numOfObject}[/math] — номер нужного объекта среди тех, у которых префикс до [math]i[/math]-го элемента лексикографически равен префиксу нашего объекта,
  • [math]\mathtt{n}[/math] — количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины [math]n[/math]),
  • [math]\mathtt{k}[/math] — количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора [math]k=2[/math], поскольку возможны только [math]0[/math] и [math]1[/math]. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с [math]1[/math].

Комбинаторные объекты занумерованы с [math]0[/math]. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма:

function num2object(numOfObject: int):
  for i = 1 to n                     
    for j = 1 to k                      
      if j-й элемент можно поставить на i-e место 
        if numOfObject >= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
          numOfObject -= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
        else
          object[i] = j
          break
  return object

Сложность алгоритма — [math]O(nk) [/math]. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью. Приведем примеры получения некоторых комбинаторных объектов по номеру.

Битовые вектора

Рассмотрим алгоритм получения [math]k[/math]-ого в лексикографическом порядке битового вектора размера [math]n[/math]. При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на текущее место. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе. Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия:

  • [math]\mathtt{bitvector[n]}[/math] — искомый битовый вектор,
  • [math]\mathtt{numOfBitvector}[/math] — номер искомого вектора среди всех битовых векторов,
  • [math]\mathtt{pow(2, n)}[/math][math]2^{n}[/math] количество битовых векторов длины [math]n[/math],
vector<int> num2bitvector(numOfBitvector: int):
  for i = 1 to n                                      
   if numOfBitvector >= pow(2, (n - i))
     numOfBitvector -= pow(2, (n - i))
     bitvector[i] = 1
   else
     bitvector[i] = 0    
  return bitvector    

Данный алгоритм работает за [math]O(n)[/math], так как в случае битовых векторов [math]k[/math] не зависит от [math]n[/math]. Алгоритм эквивалентен переводу числа из десятичной системы в двоичную.

Перестановки

Рассмотрим алгоритм получения [math]k[/math]-ой в лексикографическом порядке перестановки размера [math]n[/math]. Заметим, что всем префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество всевозможных суффиксов зависит только от длины) то есть можем просто посчитать "количество диапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за [math]O(1) [/math]:

  • [math]\mathtt{k}[/math] — номер искомой последовательности,
  • [math]\mathtt{n!}[/math] — количество перестановок размера [math]n[/math],
  • [math]\mathtt{permutation[n]}[/math] — искомая перестановка,
  • [math]\mathtt{was[n]}[/math] — использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.

На [math]i[/math]-ом шаге:

  • [math]\mathtt{alreadyWas}[/math] — сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером,
  • мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером [math]alreadyWas + 1[/math]. Среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра [math]j[/math].

На [math]j[/math]-ом шаге:

  • [math]\mathtt{curFree}[/math] — если элемент с номером [math]j[/math] свободен, то он имеет номер curFree среди всех свободных элементов с [math]1[/math] по [math]j[/math].
list<int> num2permutation(k: int):
  for i = 1 to n                               
    alreadyWas = k / (n - i)!      
    k %= (n - i)!
    curFree = 0
    for j = 1 to n  
      if was[j] == false 
        curFree++
        if curFree == alreadyWas + 1
          permutation[i] = j
          was[j] = true
  return permutation

Данный алгоритм работает за [math]O(n^2)[/math], так как в случае перестановок [math]n=k[/math]. Мы можем посчитать все [math]\mathtt{n!}[/math] за [math]O(n) [/math]. Асимптотику можно улучшить до [math]O(n \log {n}) [/math], если использовать структуры данных (например, декартово дерево по неявному ключу), которые позволяют искать [math]i[/math]-й элемент множества и удалять элемент множества за [math]O( \log {n}) [/math].

Сочетания

На каждой итерации мы проверяем, входит ли число [math]\mathtt{next}[/math] в искомое сочетание. Если мы хотим взять [math]\mathtt{next}[/math], то номер перестановки должен быть меньше, чем [math]\binom{n - 1}{k - 1}[/math], так как потом надо будет выбрать [math]k - 1[/math] элемент из [math]n - 1[/math] доступных. Если нет, то будем считать, что [math]\binom{n - 1}{k - 1}[/math] перестановок, начинающихся с [math]\mathtt{next}[/math], мы пропустили. В обоих случаях рассмотрение текущего числа [math]next[/math] мы заканчиваем и переходим к следующему числу.

  • [math]\mathtt{choose}[/math] — искомое сочетание,
  • [math]\mathtt{C[n][k]}[/math] — количество сочетаний из [math]n[/math] по [math]k[/math], [math]\mathtt{C[n][0] = 1}[/math],
list<int> num2choose(n, k, m: int):
  next = 1
  while k > 0
    if m < C[n - 1][k - 1]
      choose.push_back(next)
      k = k - 1
    else
      m -= C[n - 1][k - 1]
    n = n - 1
    next = next + 1
  return choose

Асимптотика приведенного алгоритма — [math]O(n)[/math], предподсчет [math]\mathtt{C[n][k]}[/math][math]O(n^2)[/math]

См. также

Источники информации

  • Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31 - ISBN 5-94774-010-9