Получение объекта по номеру

Описание алгоритма

Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы нашли первые [math]i[/math] элементов объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на позиции с номером [math]i+1[/math], посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должен стоять на месте с номером [math]i+1[/math]. Диапазоны номеров не пересекаются, значит на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент.

• В начале каждого шага numOfObject — номер нужного объекта среди тех, у которых префикс до i-го элемента лексикографически равен префиксу нашего объекта.

• n — количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины [math]n[/math])

• k — количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для битового вектора [math]k=2[/math] : возможны только 0 и 1. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с 1.

Комбинаторные объекты занумерованы с 0. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма.

for i = 1 to n do                      
  for j = 1 to k do                      
    if j-ый элемент можно поставить на i-e место 
      if numOfObject >= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
        numOfObject -= (количество комбинаторных объектов с префиксом object[1..i-1] и элементом j на месте i)
      else
        object[i] = j        

Сложность алгоритма — [math]O(nk) [/math]. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью. Приведем примеры получения некоторых комбинаторных объектов по номеру.

Перестановки

Рассмотрим алгоритм получения [math]k[/math]-ой в лексикографическом порядке перестановки размера [math]n[/math]. Заметим, что всем префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (так как количество всевозможных суффиксов зависит только от длины) то есть можем просто посчитать "количество диапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за [math]O(1) [/math]:

• k — номер искомой последовательности

• n! — количество перестановок размера [math]n[/math].

• permutation[n] — искомая перестановка.

• was[n] — использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.

На [math]i[/math]-ом шаге:

• alreadyWas — сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером.

• мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером alreadyWas + 1. Среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра j.

На [math]j[/math]-ом шаге:

• curFree — если элемент с номером [math]j[/math] свободен, то он имеет номер curFree среди всех свободных элементов с 1 по [math]j[/math]

for i = 1 to n do                               
  alreadyWas = k div (n-i)!      
  k = k mod (n-i)!
  curFree = 0
  for j = 1 to n  
    if was[j] == false 
      curFree++
      if curFree == alreadyWas + 1
        permutation[i] = j
        was[j] = true

Данный алгоритм работает за [math]O(n^2)[/math], так как в случае перестановок [math]n=k[/math]. Мы можем посчитать все n! за [math]O(n) [/math]. Асимптотику можно улучшить до [math]O(n \log {n}) [/math], если использовать структуры данных (например, декартово дерево по неявному ключу), которые позволяют искать [math]i[/math]-ый элемент множества и удалять элемент множества за [math]O( \log {n}) [/math].

Битовые вектора

Рассмотрим алгоритм получения [math]i[/math]-ого в лексикографическом порядке битового вектора размера [math]n[/math]. При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на текущее место. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе. Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия:

• bitvector[n] — искомый битовый вектор

• 2^n — [math]2^{n}[/math] количество битовых векторов длины [math]n[/math]

for i = 1 to n do                                         
 if numOfBitvector >= pow(2, (n-i))
   numOfBitvector -= pow(2, (n-i))
   bitvector[i] = 1
 else
   bitvector[i] = 0        

Данный алгоритм работает за [math]O(n)[/math], так как в случае битовых векторов [math]k[/math] не зависит от [math]n[/math].

См. также

• Получение номера по объекту
• Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31 - ISBN 5-94774-010-9