Редактирование: Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 2: Строка 2:
 
Алгоритм Томпсона строит по [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] следующим образом:
 
Алгоритм Томпсона строит по [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] следующим образом:
 
* Начало.
 
* Начало.
* '''Шаг 1.''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.
+
* '''Шаг 1''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.
* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
+
* '''Шаг 2''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
 
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>
 
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>
** Для всех <tex>c \in \Sigma</tex> посмотрим в какое состояние ведет переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния в <tex>q</tex>. Полученное множество состояний положим в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
+
** Для каждого <tex>c \in \Sigma</tex> построим множество, содержащее состояния, в которые ведет символ <tex>c</tex> из каждого состояния из <tex>q</tex>. Затем положим построенное множество в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
 
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
 
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
* Конец.
+
* Конец
  
 
== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==
 
== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==
Строка 24: Строка 24:
 
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
 
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
 
|proof=
 
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
+
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1...w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
 
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.  
 
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.  
 
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
 
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
Строка 34: Строка 34:
  
 
===Алгоритм===
 
===Алгоритм===
* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.  
+
<tex>Q</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.
* <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, соответствующих состояниям ДКА.
+
<tex>s</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
* <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
+
  '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q_0, s, T, \delta_0 \rangle</tex> : '''Automaton'''):
  '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex> : '''Automaton'''):
+
  <tex>Q</tex>.push({s})
    <tex>P</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>)
+
  '''while''' (<tex>Q</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex>)
    <tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
+
       <tex>Q</tex>.pop(<tex>q_d</tex>)
    '''while''' <tex>P</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex>
+
       '''for''' (<tex>c</tex> '''in''' <tex>\Sigma</tex>)
       <tex>P</tex>.pop(<tex>p_d</tex>)
+
          <tex>p_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
       '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
+
          '''for''' (<tex>q</tex> '''in''' <tex>q_d</tex>)
          <tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
+
              <tex>p_d</tex> = <tex>p_d \cup \{ \delta_0(q, c) \}</tex>
          '''for''' <tex>p \in p_d</tex>
+
          '''if''' ('''not''' visited[<tex>p_d</tex>])
            <tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \delta(p, c) \}</tex>
+
              <tex>Q</tex>.push(<tex>p_d</tex>)
          <tex>\delta_d(p_d, q_d)</tex> = <tex>c</tex>
+
  '''return''' <tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>
          '''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex>
 
            <tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>)
 
            <tex>Q_d</tex>.add(<tex>q_d</tex>)          
 
    <tex>T_d</tex> = <tex>\{q_d \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q_d\}</tex>
 
    '''return''' <tex>\langle \Sigma, Q_d, \{s\}, T_d, \delta_d \rangle</tex>
 
  
 
===Асимптотика===
 
===Асимптотика===
Строка 83: Строка 78:
 
* [[Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]
 
* [[Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]
 
* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]
 
* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]
 
== Источники информации ==
 
* ''Серебряков В.А.'' Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ-Пресс, 2003 (1-е изд.) и 2006 (2-е изд) — С. 294. — ISBN 5-94073-094-9
 
  
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: