Поток минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Асимптотика)
(Поправил определение, которое не значило ничего и путало обозначениями)
Строка 2: Строка 2:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. <tex>\forall (u,v) \in E</tex> <tex>\exists c(u, v), f(u,v)</tex> {{---}} стоимость пересылки единицы потока и пропускная способность. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>:
+
|definition=Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> и цену за единицу потока <tex>a(u, v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>:
:<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} c(u,v) \cdot f(u,v)</tex>
+
:<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex>
 
}}
 
}}
===Свойства стоимости===
+
===Свойства сети===
 
* Поток не может превысить пропускную способность.  
 
* Поток не может превысить пропускную способность.  
 
:<tex>f(u,v) \leqslant c(u,v)</tex>
 
:<tex>f(u,v) \leqslant c(u,v)</tex>
Строка 14: Строка 14:
  
 
{{Задача
 
{{Задача
|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. <tex>\forall (u,v) \in E</tex> <tex>\exists c(u, v), f(u,v)</tex> {{---}} стоимость пересылки единицы потока и пропускная способность. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
+
|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> {{---}}
 +
и цену за единицу потока <tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
 
}}
 
}}
  

Версия 19:07, 14 декабря 2018

Задача о потоке минимальной стоимости

Определение:
Пусть дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. Ребра [math](u,v) \in E[/math] имееют пропускную способность [math] c(u, v), [/math] поток [math] f(u,v) [/math] и цену за единицу потока [math]a(u, v) [/math]. Тогда общая стоимость потока из [math]S[/math] в [math]T[/math]:
[math]p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)\gt 0} a(u,v) \cdot f(u,v)[/math]

Свойства сети

  • Поток не может превысить пропускную способность.
[math]f(u,v) \leqslant c(u,v)[/math]
  • Поток из [math]u[/math] в [math]v[/math] должен быть противоположным потоку из [math]v[/math] в [math]u[/math].
[math]f(u, v)=-f(v, u)[/math]
  • Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно [math]0[/math].
[math] \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0[/math]


Задача:
Дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. Ребра [math](u,v) \in E[/math] имееют пропускную способность [math] c(u, v), [/math] поток [math] f(u,v) [/math] — и цену за единицу потока [math] a(u, v) [/math]. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.


Алгоритмы решения

Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети

Воспользуемся леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети. Получим следующий алгоритм:

Алгоритм

  • Начало.
  • Шаг 1. Требуется найти максимальный поток минимальной стоимости.
  • Шаг 2. Для каждого ребра зададим поток равный [math]0[/math].
  • Шаг 3. Построим остаточную сеть [math]G_f[/math].
  • Шаг 4. При помощи алгоритма Форда-Беллмана найдем отрицательные циклы в остаточной сети. Если нет — перейдем к шагу 7.
  • Шаг 5. Выберем один из отрицательных циклов.
  • Шаг 6. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Перейдем к шагу 5.
  • Шаг 7. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.
  • Конец.

Асимптотика

Алгоритм Форда-Беллмана работает за [math]O(VE)[/math]. Нахождение максимального потока и улучшение цикла работает за [math]O(E)[/math]. В итоге имеем [math]O(V E^2)[/math].

Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости

Использование потенциалов Джонсона

См. также

Источники информации