Редактирование: Правило Лаулера

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
Рассмотрим задачу <tex>1 \mid prec \mid f_{max}</tex>.
+
==Постановка задачи==
{{Задача
+
<wikitex>Рассмотрим задачу $1 \mid prec \mid f_{max}$. Дано $n$ работ, которые надо выполнить на одной машине, причем $i$-ая работа выполняется $p_i$ времени. Для каждой работы задана монотонно неубывающая функция $f_i$. Также между работами заданы отношения в виде ориентированного графа без циклов: если существует ребро $a \to b$, то работа $a$ должна завершиться раньше работы $b$. Необходимо построить такое расписание, чтобы величина $f_{max} = max^{n}_{j=1}{f_j(C_j)}$, где $C_j$ {{---}} время окончания выполнения $j$-ой работы, была минимальна.
|definition = <wikitex>Дано $n$ работ, которые надо выполнить на одной машине, причем $i$-ая работа выполняется $p_i$ времени. Для каждой работы задана монотонно неубывающая функция $f_i$. Также между работами заданы отношения в виде ориентированного графа без циклов: если существует ребро $a \to b$, то работа $a$ должна завершиться до начала выполнения работы $b$. Необходимо построить такое расписание, чтобы величина $f_{max} = \max\limits_{j=1..n}{f_j(C_j)}$, где $C_j$ {{---}} время окончания выполнения $j$-ой работы, была минимальна.</wikitex>
+
</wikitex>
}}
 
<wikitex>Задача $1 \mid \mid f_{max}$ является частным случаем вышеописанной задачи. Здесь нет зависимостей между работами, то есть граф состоит из $n$ вершин и не содержит ребер. Очевидно, решив задачу в общем виде, мы также решим и эту.</wikitex>
 
  
 
==Правило Лаулера==
 
==Правило Лаулера==
===Формулировка===
+
<wikitex>Существует простой алгоритм решения этой задачи, открытый Лаулером. Он заключается в том, чтобы строить расписание с конца.
<wikitex>Существует простой [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)| жадный алгоритм]] решения этой задачи, открытый Лаулером. Он заключается в том, чтобы строить расписание с конца.
 
  
Пусть $N = \{1, \dots, n\}$ {{---}} множество работ, и $S \subseteq N$ {{---}} множество работ, которых ещё нет в расписании. Пусть также $p(S) = \sum\limits_{j \in S}{p_j}$. Тогда правило Лаулера можно сформулировать следующим образом: взять работу $j \in S$, у которой нет детей в графе зависимостей и имеющую минимальное значение $f_j(p(S))$, и сделать ее последней среди работ из $S$.
+
Пусть $N = \{1, \dots, n\}$ {{---}} множество работ, и $S \subseteq N$ {{---}} множество незашедуленных работ. Пусть также $p(S) = \sum_{j \in S}{p_j}$. Тогда правило Лаулера можно сформулировать следующим образом: взять работу $j \in S$, у которой нет детей в графе зависимостей и имеющую минимальное значение $f_j(p(S))$, и поставить ее на последнее место среди работы из $S$.
 
</wikitex>
 
</wikitex>
  
 
===Реализация===
 
===Реализация===
*<tex>A = (a_{ij})</tex> {{---}} матрица смежности графа, где <tex>a_{ij} = 1</tex> тогда, и только тогда, когда существует ребро <tex>i \to j</tex>.
+
<wikitex>Пусть граф задан матрицей смежности $A = (a_{ij})$, где $a_{ij} = 1$ тогда, и только тогда, когда существует ребро $i \to j$. За $n(i)$ обозначим число детей вершины $i$, а $schedule$ - расписписание.
*<tex>N(i)</tex> {{---}} число детей вершины <tex>i</tex>.
+
  for i = 1 to n do
*<tex>\mathtt{schedule}</tex> {{---}} расписание.
+
   for j = 1 to n do
  '''for''' i = 1 '''to''' n
+
       n(i) += A[i][j];
   '''for''' j = 1 '''to''' n
+
  S = {1,...,n};
       N[i] += A[i][j]
+
  P = sum(p[i]);
  S = {1,...,n}
+
  for k = n downto 1 do
  P = sum(p[i])
+
   find job j in S with n[j] = 0 and minimal f[j](P)-value;
  '''for''' k = n '''downto''' 1
+
   S = S \ {j};
   find job j in S with N[j] == 0 and minimal f[j](P)-value
+
   n[i] = inf;
   S = S \ {j}
+
   schedule[k] = j;
   N[j] = <tex>\infty</tex>
+
   P -= p[j];
   schedule[k] = j
+
   for i = 1 to n do
   P -= p[j]
+
     if A[i][j] = 1 then
   '''for''' i = 1 '''to''' n
+
       n[i]--;
     '''if''' A[i][j] == 1
 
       N[i]--
 
 
 
Сложность этого алгоритма <tex>O(n^2)</tex>.
 
 
 
===Доказательство===
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
Вышеописанный алгоритм строит оптимальное расписание для задачи <tex>1 \mid prec \mid f_{max} </tex>.
 
|proof=
 
[[Файл:1.jpg]]
 
  
<wikitex>Пусть алгоритм построил расписание, в котором работы идут в порядке $1,2,\dots,n$. Также пусть $\sigma : \sigma(1), \dots, \sigma(n)$ {{---}} оптимальное расписание. Предположим, что $\sigma(i) = i$ для $i = n, n-1, \dots, r$ и $\sigma(r - 1) \ne r-1$, причем $r$ максимальное. Тогда имеем ситуацию, изображенную на рисунке выше.
+
Сложность этого алгоритма $O(n^2)$.
 
 
Мы можем поставить работу $r - 1$ сразу перед $r$ по построению. Поэтому $r - 1$ и $j$ не имеют наследников в множестве ${1,\dots,r-1}$. Пусть $p_{r-1}$ и $p_j$ есть времена, в которые выполняются работы $r-1$ и $j$. Теперь, если мы поменяем работы $r-1$ и $j$ местами, то ответ не ухудшится. Действительно, $f_j(p_{r-1}) \leqslant f_j(p_j)$ и $f_{r-1}(p_j) \leqslant f_j(p_j)$, а значения соответствующих функций для работ между $r-1$ и $j$ не изменятся, поэтому после перестановки ответ не ухудшится.
 
 
</wikitex>
 
</wikitex>
}}
 
 
==См. также==
 
*[[Flow shop]]
 
*[[1precpmtnrifmax|<tex>1 \mid prec, pmtn, r_i \mid f_{\max}</tex>]]
 
 
==Источники информации==
 
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 62-63 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8
 
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: