Предельный переход под знаком интеграла Лебега — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|<<]] [[Неотрицательные суммируемые функции|>>]]
 
[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|<<]] [[Неотрицательные суммируемые функции|>>]]
 
{{В разработке}}
 
  
 
Ранее для интеграла Римана был получен результат: если <tex>f_n \rightrightarrows  f </tex> на <tex>[a;b]</tex>, <tex>f_n \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, то
 
Ранее для интеграла Римана был получен результат: если <tex>f_n \rightrightarrows  f </tex> на <tex>[a;b]</tex>, <tex>f_n \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, то
Строка 19: Строка 17:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Лебег
 
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
+
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex> |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex> и <tex> f </tex> ограничена, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда по теореме Риcса <tex>f_{n_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
 
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда по теореме Риcса <tex>f_{n_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
Строка 30: Строка 28:
 
<tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}</tex>,
 
<tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}</tex>,
  
<tex>|f_n - f| \le 2M </tex>, следовательно, <tex> \int \limits_{E} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}</tex>.
+
<tex>|f_n - f| \le 2M </tex>, следовательно, <tex> \int \limits_{E_{\varepsilon}} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}</tex>.
  
<tex>\int \limits_{E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(f_n - f) \ge \varepsilon} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E</tex>,
+
<tex>\int \limits_{\overline E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(|f_n - f| < \varepsilon)} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E</tex>,
 
тогда <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E</tex>.
 
тогда <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E</tex>.
  

Текущая версия на 19:14, 24 июня 2012

<< >>

Ранее для интеграла Римана был получен результат: если [math]f_n \rightrightarrows f [/math] на [math][a;b][/math], [math]f_n \in \mathcal{R}(a, b)[/math], то [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math].

Равенство, подобное [math] \lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n = \int \limits_{a}^{b} f[/math], называется предельным переходом под знаком интеграла.

Рассмотрим пример:

[math]f_n = \begin{cases}n^2x+n, & x \in [-\frac1n; 0)\\ -n^2x+n, & x \in [0; \frac1n]\\ 0, & x \in [-1; 1] \setminus [-\frac1n; \frac1n] \end{cases}[/math];

[math]\int \limits_{-1}^{1} f_n = 1[/math], [math]f_n(k) \to 0[/math] почти всюду на [math][-1;1][/math], но [math]\int \limits_{-1}^{1} 0 = 0 [/math].

Следовательно, [math]\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} f_n \ne \int \limits_{-1}^{1} f[/math].

Теорема (Лебег):
Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n[/math], [math]f[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math] |f_n(x)| \le M\ \forall n[/math] на [math]E[/math]. Если [math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math] и [math] f [/math] ограничена, тогда [math]\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math], тогда по теореме Риcса [math]f_{n_k} \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

[math]|f_{n_k}(x)| \le M[/math] при [math]k \to \infty[/math], [math]|f(x)| \le M [/math], следовательно, существует [math] \int \limits_{E} f[/math].
Осталось доказать предельное равенство:

Как обычно, [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] [math]E_{\varepsilon} = E(|f_n - f| \ge \varepsilon)[/math], [math]\bar{E_{\varepsilon}} = E \setminus E_{\varepsilon}[/math],

[math]|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}[/math],

[math]|f_n - f| \le 2M [/math], следовательно, [math] \int \limits_{E_{\varepsilon}} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}[/math].

[math]\int \limits_{\overline E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(|f_n - f| \lt \varepsilon)} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E[/math], тогда [math]|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E[/math].

В силу сходимости по мере, [math]\mu E_{\varepsilon} \to 0[/math], следовательно, начиная с некоторого [math]N[/math], [math]|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le (2M+\mu E) \varepsilon[/math].

Так как [math]\varepsilon \to 0[/math], то теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Если сравнить это доказательство с доказательством аналогичной теоремы для интеграла Римана, то видим разницу: по сравнению с последней, теорема Лебега технически элементарна. Это объясняется тем, что интеграл Лебега можно брать по любому измеримому множеству, а интеграл Римана привязан к отрезку.

<< >>