Просмотр исходного текста страницы Предикат "левый поворот"

Даны два отрезка, которые задаются начальной и конечной точками <tex>a,b\ \mathcal{2}\ \mathbb R^2</tex> и определяются как множества точек <tex>s\ =\ \{(1-t)a + tb,\ t\ \in [0;1]\}</tex>. Требуется проверить существование множества их общих точек. Для определения этого факта в вычислительной геометрии используется предикат ''левый поворот'' (или ''по часовой стрелке'').
Рассмотрим возможные расположения точек и самих отрезков относительно друг друга:

[[Файл:Cross.png]]
[[Файл:Two_segments.png]]
[[Файл:Touch.jpg]]

Определим, лежат ли точки концов отрезков по разные стороны от другого отрезка.
{{Определение
|definition =
<tex dpi = "120">
$$
\operatorname{LeftTurn}(a, b, c) =\left\{
\begin{array}{rl}
-1 &\mbox{, if}\ (c - a)\times(b - a) < 0\\
0 &\mbox{, if}\ (c - a)\times(b - a) = 0\\
1 &\mbox{, if}\ (c - a)\times(b - a) > 0
\end{array}
\right.
$$
</tex>
}}
Распишем подробнее:
<tex dpi = 120>(c - a)\times(b - a) = (c_x - a_x)(b_y - a_y) - (c_y - a_y)(b_x - a_x) = V</tex>

Какие при этом у нас будут погрешности? 
Допустим, что все числа положительные и будем писать без модулей:

'''Замечание:''' при сложении складываются абсолютные погрешности, при умножении складываются относительные погрешности.

<tex dpi = "150"> \delta (c - a)\times(b - a) = A \varepsilon \left(\frac{(c_x + a_x)}{(c_x \cdot a_x)} + \frac{(b_y + a_y)}{(b_y \cdot a_y)}\right) + B \varepsilon \left(\frac{(c_y + a_y)}{(c_y \cdot a_y)} + \frac{(b_x + a_x)}{(b_x \cdot a_x)}\right)</tex>

Именно поэтому, когда угол между отрезками АВ и АС ''крайне мал'', мы можем получить неверное значение предиката.

[[Файл:Tiny_angle.jpg]]

Заметим, что все координаты (а, значит, и наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это значит, что при вычислениях мы можем допустить ошибку. Распишем вещественное исчисление:

<tex dpi = 140>V = (c - a)\times(b - a) \approx (c_x \ominus a_x)\otimes(b_y \ominus a_y) \ominus (c_y \ominus a_y)\otimes(b_x \ominus a_x) =</tex>

<tex dpi = 130>= \big((c_x - a_x)(b_y - a_y)(1 + \delta_1)(1 + \delta_2)(1 + \delta_3)\ -</tex>

<tex dpi = 130>-\ (c_y - a_y)(b_x - a_x)(1 + \delta_4)(1 + \delta_5)(1 + \delta_6)\big)(1 + \delta_7) = \tilde{V}</tex>

<tex dpi = 130>\mid\delta_i\mid \le \varepsilon_m = 2^{-54}</tex>;

Получим некую окрестность <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}| \le 8 \varepsilon_m</tex>, если ноль попадает в наш интервал, то приходится пользоваться более тяжелой артиллерией, такими как [[Adaptive precision arithmetic|''adaptive precision arithmetic'']], либо [[Интервальная арифметика |''интервальная арифметика'']]. Во второй, исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах.

'''Замечание:''' расписанное неравенство смотрите в [[Представление_чисел_с_плавающей_точкой#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.87.D0.B5.D1.82|''другом конспекте'']]

=Bounding box=
Ещё следует обратить внимание на граничные случаи, когда какие-то точки попадают на саму прямую. При этом возникает единственный особый случай, когда вышеописанные проверки ничего не дадут — случай, когда оба отрезка лежат на одной прямой. Этот случай рассматривается отдельно. Для этого достаточно проверить, что проекции этих двух отрезков на оси X и Y пересекаются (часто эту проверку называют ''проверкой на bounding box''). Но отметим, что чаще всего данный предикат используют для трех точек, где одна из них относится сразу к двум отрезкам.

[[Файл:Bounting_box().png]]
[[Файл:Bounting_box_.png]]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]