Изменения

-1 &\mbox{, forif}\ (b c - a)\times(c b - a) < 0\\0 &\mbox{, forif}\ (b c - a)\times(c b - a) = 0\\1 &\mbox{, forif}\ (b c - a)\times(c b - a) > 0

<tex dpi = 120>(b c - a)\times(c b - a) = (b_x c_x - a_x)(c_y b_y - a_y) - (b_y c_y - a_y)(c_x b_x - a_x) = A - BV</tex>

<tex dpi = "150"> \delta (b c - a)\times(c b - a) = A \varepsilon \left(\frac{(b_x c_x + a_x)}{(b_x c_x \cdot a_x)} + \frac{(c_y b_y + a_y)}{(c_y b_y \cdot a_y)}\right) + B \varepsilon \left(\frac{(b_y c_y + a_y)}{(b_y c_y \cdot a_y)} + \frac{(c_x b_x + a_x)}{(c_x b_x \cdot a_x)}\right)</tex>

Именно поэтому, когда угол между отрезками АВ и АС ''крайне мал'', мы можем получить неверное значение предиката. [[Файл:Tiny_angle.jpg]] Заметим, что все координаты (а, значит, и наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это значит, что при вычислениях мы можем допустить ошибку. Более точно, определить знак нашего выражения поможет вычисление с [[Интервальная арифметика |''интервальной арифметикой'']]. Все исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. Для точного вычисления необходимофильтрованное вычисление предикатов.Распишем вещественное исчисление:

<tex dpi = 140>\overbrace {V = (b c - a)\times(c b - a)}^{v} \approx \overbrace{(b_x c_x \ominus a_x)\otimes(c_y b_y \ominus a_y) \ominus (b_y c_y \ominus a_y)\otimes(c_x b_x \ominus a_x)}^{\tilde{v}} =</tex>

<tex dpi = 130>= \big((b_x c_x - a_x)(c_y b_y - a_y)(1 + \delta_1)(1 + \delta_2)(1 + \delta_3)\ -</tex>

<tex dpi = 130>-\ (b_y c_y - a_y)(c_x b_x - a_x)(1 + \delta_4)(1 + \delta_5)(1 + \delta_6)\big)(1 + \delta_7)= \tilde{V}</tex>

<tex dpi = 130>\mid\delta_i\mid \le \varepsilonvarepsilon_m = 2^{-54}</tex>;

Именно поэтомуПолучим некую окрестность <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}| \le 8 \varepsilon_m</tex>, когда угол между отрезками АВ и АС если ноль попадает в наш интервал, то приходится пользоваться более тяжелой артиллерией, такими как [[Adaptive precision arithmetic|''adaptive precision arithmetic'']], либо [[Интервальная арифметика |''крайне малинтервальная арифметика'']]. Во второй, исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, мы можем получить неверное значение предикатано они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах.

'''Замечание:''' расписанное неравенство смотрите в [[Файл:Tiny_angleПредставление_чисел_с_плавающей_точкой#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.87.D0.B5.D1.jpg82|''другом конспекте'']]

Ещё следует обратить внимание на граничные случаи, когда какие-то точки попадают на саму прямую. При этом возникает единственный особый случай, когда вышеописанные проверки ничего не дадут — случай, когда оба отрезка лежат на одной прямой. Этот случай надо рассмотреть рассматривается отдельно. Для этого достаточно проверить, что проекции этих двух отрезков на оси X и Y пересекаются (часто эту проверку называют ''проверкой на bounding box''). Но отметим, что чаще всего данный предикат используют для трех точек, где одна из них относится сразу к двум отрезкам.