Представление производящей функций в виде непрерывных дробей — различия между версиями
| Строка 14: | Строка 14: | ||
==Свойства== | ==Свойства== | ||
Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь<ref>{{Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2) М. Гостехиздат 1956}}</ref>: | Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь<ref>{{Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2) М. Гостехиздат 1956}}</ref>: | ||
| − | + | ||
| − | Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>: | + | <tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex> |
| + | |||
| + | Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>: | ||
| + | |||
<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex> | <tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex> | ||
| Строка 25: | Строка 28: | ||
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби== | ==Функция Каталана в виде непрерывной дроби== | ||
| − | //из | + | Производящая функция для чисел Каталана удовлетворяет квадратному уравнению |
| + | |||
| + | <tex>s^{2}Cat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.</tex> | ||
| + | |||
| + | Перепишем это уравнение в виде | ||
| + | |||
| + | <tex>Cat(s) - s^{2}Cat^{2}(s)= 1.</tex> | ||
| + | |||
| + | или | ||
| + | |||
| + | <tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - s^{2}Cat^{2}(s)}.</tex> | ||
| + | |||
| + | Подставив выражение для <tex>Cat(s)</tex> из левой части равенства в | ||
| + | правую часть того же равенства, получим | ||
| + | |||
| + | <tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^{2}Cat(s)}}.</tex> | ||
| + | |||
| + | Подставляя вновь выражение для <tex>Cat(s)</tex> в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление для | ||
| + | функции Каталана в виде непрерывной дроби: | ||
| + | |||
| + | <tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.</tex> | ||
| + | |||
==См. также== | ==См. также== | ||
Версия 12:13, 18 апреля 2018
Содержание
Определения
| Определение: |
| Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это бесконечное математическое выражение вида
где и есть целые числа, а — натуральные числа (положительные целые). |
| Определение: |
| Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора и |
| Утверждение: |
Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби , которую называют n-ой подходящей дробью. |
Свойства
Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[1]:
Например для функции :
| Теорема (Разложение рациональной функции): |
Любая рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. |
Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
Функция Каталана в виде непрерывной дроби
Производящая функция для чисел Каталана удовлетворяет квадратному уравнению
Перепишем это уравнение в виде
или
Подставив выражение для из левой части равенства в правую часть того же равенства, получим
Подставляя вновь выражение для в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление для функции Каталана в виде непрерывной дроби:
